Осколки зеркала

Кто-то когда-то заметил, что философ — это человек, обнаруживающий непонятную сложность в самом простом и общепонятном. Проиллюстрировать это можно математическим примером на уровне средней школы.

Существует такое понятие: разбиение множества на непересекающиеся классы. То есть, каждый элемент множества обязательно принадлежит одному из классов — но не может принадлежать сразу двум. Вообще говоря, разбивать можно разными способами — и одно разбиение с другим никак не соотносится.

Есть другое понятие: на множестве может быть задано симметричное, транзитивное и рефлексивное отношение — которое по традиции называется эквивалентностью. Не в том смысле, что эквивалентные элементы обязательно совпадают, а только что в этом конкретном отношении их можно считать одинаковыми. Опять же, эквивалентностей можно придумать сколько угодно, и одна на другую не всегда похожа.

Без малейших колебаний школьный учитель доказывает, что всякое разбиение на непересекающиеся классы задает некоторое отношение эквивалентности, — и что множества эквивалентных элементов любого множества образуют разбиение исходного множества на непересекающиеся классы. Таким образом эквивалентность и разбиение оказываются разными способами говорить об одном и том же.

Тут приходит философ — и прямо с порога спрашивает: а всегда ли возможно разбить множество на непересекающиеся классы? — и не бывает ли множеств, для которых никакая эквивалентность не устанавливается? А если понятия не везде определены, как можно говорить об их взаимосвязи — и уж тем более что-то доказывать?

Вопросы, конечно, глупые. Мы же сами, своим произволом придумали исходное множество — так что нам может помешать придумать хотя бы одно подмножество и наугад укомплектовать его какими-то элементами? Тогда все, что не принадлежит подмножеству, образует его дополнение — а подмножество вместе с его дополнением очевидным образом разбивают исходное множество на непересекающиеся классы. Точно так же, имеем полное право выбрать сколько-то элементов и своим произволом объявить их эквивалентными; все остальные элементы выбранным не эквивалентны — и в этом смысле эквивалентны между собой. То есть, в любом случае можно поделить хотя бы на два класса — а более сложные конструкции получаются при помощи волшебных слов: и так далее...

По кислой физиономии философа видим, что ответ его не устраивает. Позвольте, — возражает он, — но непринадлежность одному множество вовсе не означает принадлежности другому! Если это не гвоздь — он вовсе не обязательно будет шурупом: есть еще саморезы, винты, и прочий крепеж — о существовании которого мы можем и не знать, пока не столкнемся на практике. Если же вы утверждаете, что нет в исходном множестве ничего, что не принадлежало бы либо вашему произвольному подмножеству, либо его дополнению, — вы, фактически, заранее предполагаете, что множество уже разбито на две части, — и тогда, конечно, искомое разбиение существует! Но это никоим образом не отменяет возможности чего-то не столь тривиального.

Совершенно аналогично, возможность явочным порядком ввести эквивалентность выбранных элементов множества вовсе не означает одинаковости оставшихся. Ваше рассуждение предполагает, что из неэквивалентности двух элементов некоторому третьему следует их эквивалентность между собой — а это очень сильное утверждение, допущение о связи двух совершенно разных отношений! Справедливо оно только в особых условиях, которые надо честно оговаривать; а тем самым неявно постулируется то, возможность чего вы пытаетесь продемонстрировать.

Простейший пример. Допустим, в качестве множеств у нас только открытые шары; тогда ни одно из этих множество нельзя разбить на непересекающиеся классы в рамках той же топологии; более того, даже конечное (или счетное) покрытие не всегда возможно. Говорить о разбиениях можно только при расширении исходного универсума — а это уже другая математика. Точно так же, если отношение эквивалентности взято само по себе — оно вообще не предполагает других отношений (в частности — неэквивалентности): мы можем сказать, про любые два элемента, эквивалентны они или нет, — и это будет удовлетворять нашим трем аксиомам, и каждый элемент становится представителем класса эквивалентности, — но мы, вообще говоря, не знаем, существует ли такой набор представителей, чтобы соответствующие классы покрывали исходный универсум целиком.

Такова элементарная логика. Разумеется, всегда можно ограничиться работой лишь с "хорошими" множествами, для которых все наши теоремы справедливы. Но в этом случае любые "доказательства" становятся неубедительными: мы лишь формально конструируем объекты заданного типа, подгоняем нашу теорию под желаемый результат.

Так ли уж все плохо? В конце концов, любые науки заняты именно этим: им важно привести свое строение к соответствию с предметом. Демистифицированная (предметная) математика становится одной из наук — и перестает быть формой религиозного сознания. И в результате занимает свое настоящее место — и нам есть, за что ее уважать.

Возможно, кому-то из математиков станет не очень комфортно: например, обожаемые всеми доказательства от противного оказывают вовсе не доказательствами, а лишь эвристиками, мотивировками принятых решений — истину которых придется устанавливать как-то иначе. Действительно, если мы выяснили, чем что-то не является, — это никоим образом не говорит о том чем оно является на самом деле; отрицательные определения — первый этап всякого познания: нащупывание предмета, поиск, ориентировочное поведение. Впрочем, учитывая условность всех прочих доказательств (которые могут порождать лишь гипотезы), ничего трагического в этой неопределенности нет: мы работаем, делаем что можем, — а практика расставит все по местам, сохранит ценное.

Математическая теория возникает как и всякая другая: эмпирические соображения выделяют некоторый класс объектов, с которыми нам нужно разобраться (предметная область, "универсум"); мы указываем те качества объектов, которые для нас будут в этом контексте определяющими, — и все остальное пытаемся (по возможности формально) выразить в терминах этого "базиса". То есть, задача теоретика не "доказать" — а связать, привести одно к другому (но вовсе не вывести все из чего-то одного). Если строение предметной области достаточно детализировано, можно попытаться заключать по аналогии — превратить найденные связи в формальные схемы, позволяющие, с одной стороны, делать выводы из набора фактов (порождение гипотез) — и обратно, при наличии практической задачи предложить средства ее решения (обоснования, теоремы). То же самое делает, например, физик, когда он задумывает очередной эксперимент — или по виду спектра делает вывод о внутреннем строении квантовой системы. И то же самое делает каждый из нас, когда, заметив трещину в стене, предвидит возможность дальнейшего разрушения и прикидывает, какие материалы и инструменты нужны, чтобы устранить опасность. Разумеется, всегда есть шанс натолкнуться на такие явления, которые в теорию не вписываются, — и для каких-то проблем придется подыскать особые средства и процедуры.

Сухой остаток: обычные математические методы весьма полезны в тех условиях, для которых они изобретены, — в предположении существования достаточно широкого универсума, вдали от границ предметной области. Однако абсолютно универсальных схем не бывает, и надо относиться к полученным результатам с долей юмора, имея в виду, что получили мы лишь то, что хотели получить, — и в другой раз можем получить что-то совершенно другое.

Вернемся к разбиениям и эквивалентностям. Школьный вариант опирается на главную аксиому современной математики: все, что возможно построить, — уже построено. Различия между потенциальным и актуальным существованием математика не предполагает. В частности, всякое множество заранее подготовлено и будет терпеливо дожидаться, пока мы соизволим обратить на него внимание и что-нибудь по его поводу произнести. Это означает, что любые операции с множествами не порождают новых множеств, а лишь сопоставляют уже имеющиеся. Говоря об объединении или пересечении множеств, мы имеем в виду, что два множества (из некоторого статического универсума) сопоставляют третьему; точно так же, идея подмножества сводится к сопоставлению одного множества с другим — и все такие сопоставления уже проделаны и готовы к употреблению. Формально такие структуры описывают при помощи интуитивной (неопределимой) конструкции "упорядоченная пара", и любые отношения (операции над множествами) представляют множествами упорядоченных пар.

Легко видеть, что не всякие два множества можно объединить или пересечь: для этого в универсуме должно существовать множество, представляющее результат операции. Например, в универсуме открытых шаров объединение существует тогда, и только тогда, когда один шар вложен в другой; если взять два непересекающихся шара, их объединение шаром уже не будет. То же самое справедливо по отношению к пересечению. Объединение и пересечение в таком случае сопоставляет двум шарам из области определения этих операций объемлющий и вложенный шары соответственно — это операции проекции упорядоченной пары на одну из компонент. Таким образом, выводимые в теории свойства множеств напрямую зависят от строения рассматриваемого универсума — и сколь угодно тонкие теоремы доказывают лишь то, что мы заранее предположили. В частности, существование разбиений невозможно, если его компоненты не входят в исходный универсум. Поскольку отношения определены как множества, доказательство взаимно однозначного соответствия эквивалентностей разбиениям — чистейшей воды тавтология: возможность статически определить отношение эквивалентности предполагает, что соответствующие классы уже построены.

Другой традиционный подход — от алгебры. Правда, фоновый универсум (база) все равно предполагается — но он, вообще говоря, не обязан быть множеством, и требуется от него только одно: существование элементов, которые можно комбинировать при помощи (неформальных) операций. Что такое элемент или операция — мы не знаем; но нам это и не нужно, поскольку операции удовлетворяют определенным требованиям, а из этого можно уже делать выводы. Удобства ради предполагается, что операции определены для всех элементов базы: что нас не устраивает, то мы просто не рассматриваем. Если операций несколько, они могут иметь разные области определения — но мы ограничиваемся только тем, что поддерживает все операции (допуская иногда нескольких особых точек). Это называется полнотой. Понятно, что при таком раскладе ничего кроме тавтологий на выходе не ожидается. Но почему бы не поиграть на досуге пустыми формами?

В алгебраических структурах быстро возникают идеи представления операций элементами, а элементов операциями — а дальше работают принципы теории множеств. Фундаментальный постулат — существование области определения. Всякому элементу можно сопоставить все элементы, их которых он получен при помощи заданной комбинации операций (функции). Предполагая, что все мыслимые функции уже вычислены, допустимо мыслить набор прототипов как объект — класс эквивалентности. Требование полноты обычным порядком приводит к существованию покрытий или разбиений на классы.

В некоторых структурах элементы изначально разбиты на непересекающиеся классы; например, наряду с абстрактными (неформальными) элементами рассматривают также элементы уже известной алгебраической структуры (или множества). При этом функции различаются типом значения: одни дают "синкретический" элемент базы (то есть, по сути, базовую операцию), другие число... В принципиальном плане это ничего не меняет. Возможность трактовать область определения как класс — сильное допущение, которое заранее закладывает в теорию все выводимые свойства.

Предметная математика изучает вполне определенные (хотя далеко не всегда формально определимые) типы абстрактных объектов, и ее задача вытащить на свет всевозможные связи, своего рода схемы интерполяции для предположений о свойствах всего, что допускается конструировать, следуя правилам игры. В статической науке ответы неявно предполагаются. При этом нет особой разницы между суждениями разных типов — и никаких оснований делать одни схемы главнее других. Вся совокупность формальных приемов образует логику теории, одни уровни логики тесно связаны с другими, поскольку все вместе они дают понятие предмета конкретной науки. Например, привычка оперировать "логическими" связками (не, и, или, ...) никоим образом не означает, что эта "символическая" логика существует сама по себе и дает какое-то "очищенное" от всякой предметности знание. Мы лишь пытаемся выстроить наши взаимоотношения с предметом, подгоняя его под привычные формы; для этого приходится переосмысливать логические операции в терминах предметных действий и организовывать предметную область так, чтобы все это работало. Если предмет не во всем согласен с шаблоном, мы его усложняем, заменяем одну логику другой. Преемственность в развитии наук редко требует радикального пересмотра схем — и какие-то приемы работы используются тысячелетиями (с бесчисленными "уточнениями"), — но иногда без новых парадигм уже не обойтись.

Познание движется от синкретизма, общего представления, чуткой интуиции, — к выделению вещей и свойств, — и далее к воссозданию исходной целостности из разнородного материала. Современная культура, рыночная экономика, основанная на всеобщем разделении труда, не позволяет завершить этот синтез: наука ограничивается классификацией и группировкой — ее больше интересует классовое неравенство. Отсюда в математике всевозможные декомпозиции и разбиения — а эквивалентность нам нужна только для того, чтобы подчеркнуть различия: все существенные свойства определяют для фактор-множества, для классов, а не для элементов. То, что не вписывается ни в один класс, — вне науки (и вне цивилизованного общества). Мир будущего, населенный одними сингулярностями, потребует иной математики. Всякое объединение будет лишь временным, относительным, ограниченным рамками конкретной задачи; переход от одного производства к другому связан с перестройкой предметной области. Это один из принципов иерархического подхода.

Как уже отмечалось, предметность неявно закладывается в строение исходного универсума — чтобы привести теорию в соответствие с потребностями практики. Остается сделать следующий шаг: отказаться задания от чего бы то ни было раз и навсегда, допустить "естественное" разнообразие, невозможность универсальной формализации. На то она и формализация, чтобы заниматься частными случаями. Научность не в том, чтобы выдумывать теории всего, — а в том, чтобы предложить минимально необходимую, простейшую теорию для каждой предметной области. Трезвое отношение к собственным возможностям науке только на пользу.

В примере с множествами и равенством, вместо полных классификаций (разбиений на непересекающиеся классы) следовало бы, скорее, говорить о шкалах — наборах зон, в пределах которых элементы относительно эквивалентны. Почему относительно? Да потому что всякая шкала иерархична, она объединяет шкалы нескольких уровней — и эквивалентность на одном уровне вполне допускает качественное различие на другом. Например, в музыке одну и ту же ступень звукоряда можно интонировать (в пределах зоны) чуть выше или чуть ниже, в зависимости от музыкального контекста и художественного образа; аналогично в танцах типовые движения допускают разные аранжировки. Примеры из области искусства — но и в науке существуют разные уровни формализации, и не так-то просто отличить фундаментальную теорию от полуэмпирической.

Никакая шкала не может охватить всего — однако однородность универсума позволяет начинать с любого элемента, и структура шкалы будет развернута по отношению именно к нему. Эта однородность вполне аналогична внутренней симметрии шкалы, эквивалентности элементов в пределах зоны; такая "внешняя" симметрия возникает на каком-то из уровней той же шкалы, как одна из зон. В итоге оказывается, что шкала единообразно описывает всю предметную область — полнота восстанавливается с учетом иерархичности.

Выделение подмножества — пример статической шкалы. Мы интересуемся только окрестностью выделенного элемента — а все остальные вне пределов измеримости. Другое подмножество — другая шкала. Чтобы связать эти шкалы — нужно выйти на другой уровень иерархии, где возникают объекты иного типа, внутренне иерархичные. Например, гармония в музыке — иерархическая структура из разных зон, аналог объединения множеств; напротив, полифункциональность предполагает пересечение зон. В общем случае такие иерархии несводимы к исходным элементам и шкалам. Лишь в статическом контексте множество есть совокупность всех его элементов — а элемент можно представить как класс всех множеств, которым он принадлежит; аналогично подмножество и его дополнение определяются друг через друга. Логическая трудность — в принципиально неформализуемом понятии всего: разные трактовки приведут к разным теориям.

Когда математические объекты допускается создавать и уничтожать, вопрос корректности определений выдвигается на первый план. Например, люди рождаются и умирают; в каждый момент (в некоторой фиксированной шкале) есть множество живых людей — но не существует множества людей вообще, — хотя бы потому, что кое-кто еще и не рождался на свет. Теории "общечеловеческих" (в том числе математических) ценностей, с учетом этого обстоятельства, не выдерживают никакой критики. В другой предметной области — свои особенности. Например, электроны образуют ферми-газ — но в каких-то условиях начинают образовываться куперовские пары и бозе-конденсат; это состояния разной симметрии. Наши представления о пище и жилье исторически изменчивы — и множества кулинарных ингредиентов и стройматериалов столь же непостоянны. Но что мешает нам говорить об алгебраических структурах, где возможные операции зависят от элементного состава базы, а элементы изменяются из-за участия в операциях? Как тогда будут выглядеть аналоги разбиений и варианты эквивалентности?

январь 1983