Безумие Кантора

Со школьной скамьи мы знаем, что есть числа бывают натуральные и вещественные. Все остальное (рациональные, комплексные числа, кватернионы, октонионы, трансфинитные числа, ординалы и т. д.) — это уже не совсем числа, и возникают они как структуры над собственно числовым фундаментом (с какими-то топологическими соображениями). На самом деле, даже про вещественные числа не очень понятно: рассуждения о предельном переходе в пучке последовательностей рациональных чисел для большинства грамотных людей неубедительны, хотя бы потому, что мысль об окончательном результате бесконечного процесса сама по себе кажется логическим противоречием, ошибкой в определении. Вещественная математика, как известно, возникла для обслуживания повседневного быта (землемерие, сравнение объемов и масс), и соотносятся вещественные и целые числа как измеряемое и результат измерения, как вещь — и ее восприятие. Что вовсе не одно и то же. Мы в курсе, что наши представления о мире заведомо неполны, что относятся они лишь к небольшой части его, а именно: к тому, что нас практически интересует в данный момент. Есть мотивы, есть цели. И есть море всего прочего, что не имеет отношения к делу. Отсюда идея дискретности и непрерывности. Которые несводимы друг к другу по той простой причине, что относятся к разным предметным областям, и потому их невозможно непосредственно сравнить.

Но в академической математике изначально предполагается, что любые конструкты ничем друг от друга в принципиальном плане не отличаются, и отношения между ними чисто формальны, а потому одно всегда сводится к другому (или выводится из него). Все природное богатство мы сплющиваем в нечто плоское и безликое. Математическое описание мира — верх грубости, приблизительности, неполноты. Иногда такие абстракции полезны. Но всеобщность редукции, ее повсеместная обязательность — это иллюзия. Платить за неумеренные амбиции, увлечения и преувеличения приходится логическими неувязками, шаткостью оснований. Отсюда столь пристальное внимание к форме, щепетильность по поводу соответствия стандартам изложения. Точно так же, как показная вежливость или дресс-код в цивилизованном обществе скрывают взаимную ненависть и вульгарность.

Как только мы перестаем замечать различия между целыми и вещественными числами, встает вопрос о самом их существовании: что это? — две разных конструкции или одно и то же? Формальное образование подсовывает традиционный ответ: сопоставить взаимно однозначно вещественные числа с натуральными никак не получится — это со всей строгостью доказал великий Кантор. За что и умер в психиатрической больнице. А равенство бесконечностей мы (вслед за Кантором) понимаем исключительно как изоморфизм: обратимое отображение одного на другое с сохранением существенных свойств.

Уже эта последняя формулировка вызывает скептические вопросы. Даже актуальное существование бесконечностей во времена Кантора далеко не все математики были готовы принять. Тем более непонятно, что такое отображение одной бесконечности на другую. И совсем неясно, какие именно свойства следует считать существенными. Потом придумали манеру говорить о непонятностях формально, безотносительно к осмысленности такой науки. Называется это аксиоматический метод — и следовать ему обязаны все от мала до велика, под страхом вечного отлучения не только от математики, но и от всякой вообще науки. Однако заметание мусора под ковер, запрет думать о белой обезьяне, — никоим образом не отменяет реальных проблем. В частности, проблем логических. От которых якобы точная математика становится совершенно неубедительной.

Напомним хрестоматийную диагональную схему канторовского доказательства. Прежде всего, вещественные числа (для определенности, на отрезке [0, 1]) следует отождествить с последовательностями нулей и единиц. Предполагается, что каждая такая последовательность есть запись вещественного числа в двоичной системе счисления, и что всякое вещественное число представимо в двоичном виде. Пока не будем заострять внимание на сомнительности логики "в оба конца" и нетривиальности самого понятия "система счисления" (или, по Кантору, "фундаментальная последовательность") и на изначально встроенной в теорию возможности сопоставления бесконечности другой. Далее, допустим, что все вещественные числа можно пронумеровать — однозначно сопоставить элементам натурального ряда. Еще раз: мы нумеруем бесконечные последовательности — но возможность за обозримое время проверить соответствие последовательности ее номеру пока не обсуждается. Для последовательности с любым конечным номером n можно установить, чему равен ее n-й член (это либо 0, либо 1). Соответственно, легко взять 0 вместо 1, — или наоборот, 1 вместо 0. Тогда всякому натуральному числу n ставится в соответствие вполне определенная двоичная цифра — и в итоге мы имеем двоичную последовательность, которая не может совпасть ни с одной из ранее пронумерованных (поскольку — по построению — отличается от последовательности с номером n в n-й цифре). По исходному определению, всякая двоичная последовательность (а значит, и мысленно сконструированная нами антидиагональ) должна соответствовать некоторому вещественному числу. Но (анти)диагональной последовательности не соответствует ни один из ранее назначенных номеров — а это противоречит допущению о том, что все вещественные числа пронумерованы. А значит, имеются достаточные основания, чтобы отвергнуть гипотезу о перечислимости вещественных чисел — и ввести в математику сколь угодно большие "кардинальные числа" — уровни актуальной бесконечности.

Логичный вопрос: если рассуждению предшествует несколько весьма проблематичных допущений — почему полученное в итоге противоречие следует считать опровержением лишь одного из них? Откуда у остальных иммунитет? Даже если какие-то из посылок отвечают старинной традиции, даже если они выведены как теоремы в какой-то другой теории, — это никоим образом не отменяет их уязвимости в новом контексте. Следуя аксиоматическому методу, можно отменить любой математический результат: достаточно усомниться в одной из аксиом или в уместности правил вывода. Казалось бы, безобидная перепланировка, лишний кирпичик, — но от этого может обрушиться весь дом. Точно так же, одного противоречия достаточно, чтобы опровергнуть всю систему целиком — а не только сиюминутное дополнение.

Например, предположение о том, что выбор по одной цифре из бесконечного числа бесконечных последовательностей должен в итоге дать качественно такую же бесконечную последовательность, — это прямая отсылка к пресловутой аксиоме выбора, приемлемость которой до сих пор вызывает немало вопросов. Наглядно проиллюстрировать нетривиальность проблемы позволяет переформулировка канторовского "доказательства" для трансфинитных чисел. Действительно, заметим, что всякое натуральное число, как и вещественное, представимо двоичной последовательностью двоичных цифр — однако для каждого натурального числа эта последовательность оказывается "конечной": после какого-то номера все ее элементы равны нулю (заметим, правда, что для установления этого факта не существует эффективной процедуры). Допустим теперь, что все такие последовательности можно перенумеровать. Дальше воспроизводим диагональное построение — и получаем "число", которое не принадлежит натуральному ряду. В чем отличие от рассуждений Кантора? В том, что работали мы исходно с "конечными" последовательностями — а получили последовательность другого типа, "бесконечную". Можно считать это представлением некоторого "бесконечно большого" целого числа, и строить развитую трансфинитную математику. Но вернемся к школьному варианту: почему бы не допустить, что диагональный метод в применении к "перечислимым" вещественным числам порождает последовательность иного типа — "неперечислимое" вещественное число? Здесь возможна вполне содержательная математика, разделяющая вещественные числа по уровням внутренней сложности. Мы же различаем просто иррациональные — и трансцендентные числа. Почему бы не поговорить о более тонких различиях?

Есть и другие, столь же законные направления мысли. Пусть антидиагональ — обычная последовательность двоичных цифр, и должна соответствовать вещественному числу. Заметим, что она не совсем чужда натуральным числам: ее запросто можно включить в состав исходного перечисления, если увеличить все исходные номера на 1, а диагонали присвоить индекс 1. Выполняя диагональный трюк еще раз, получим новую диагональную последовательность. которую тем же порядком включим в перечисление. Что получается? С одной стороны, вещественные числа нельзя перенумеровать, а с другой — нет такого вещественного числа, которое нельзя было бы учесть в одной из возможных нумераций. Вещественные числа и перечислимы, и не перечислимы одновременно. Это противоречие говорит о том, что само понятие перечисления для бесконечных совокупностей нуждается в уточнении.

В самом деле, как можно было бы перечислить элементы конечного множества? Мы запускаем лапу в мешок, достаем первый попавшийся элемент — и рисуем на нем очередной номер. Дальше события могут развиваться по-разному. Например, метод исчерпания предполагает, что пронумерованные сущности мы отправляем в другой мешок (другое множество), и достаем по очереди все оставшиеся элементы, пока в исходном ящике не станет пусто. Нумерация в таком исполнении оказывается последовательностью пар непересекающихся множеств — структура очень нетривиальная (известная как разбиение единицы)... Другой вариант — отправить пронумерованный элемент обратно к его товарищам и ловить следующий на удачу: если на нем уже есть номер — оставляем как было, если нет — рисуем следующий. Нумерация тогда формально представляется стохастическим процессом, вероятностным распределением. В любом случае есть разного рода предметные осложнения. Просеивание остатков — процедура не самая эффективная: первый подход ставит перед нами проблему отлова элементов в очень разреженных средах; во втором — никогда нельзя уверенно сказать, все элементы уже пронумерованы или остался кто-то статистически неуловимый. Если же элементы множества — вполне конкретные вещи, не факт, что они легко переживут процесс пересчета. Например, в первом варианте, если мы вытаскиваем живую рыбу и перекладываем на лед — вместо живых номеров получаем номера мертвые; второй вариант гуманнее — но не факт, что рыба с номером или без будет жить вечно, дожидаясь окончательного вердикта.

Можно, конечно, заявить, что степень одушевленности предмета не имеет для нас значения в рамках данной конкретной теории. Тем самым возвращаемся к проблеме существенных свойств, которая, по всей видимости, отнюдь не легче исходной, ибо привносит в теорию еще и требование формального выведения критериев применимости.

Сразу ясно: обобщить перечисление на бесконечные множества — дело непростое и далеко не однозначное. Допустим, изобрели мы способ перенумеровывать не случайным образом — а по какому-то принципу. То есть, есть эффективная процедура вычислить номер для всех подходящих по типу чисел. Но где гарантия, что не найдется чисел другого типа? Для таких потребуется своя процедура, плюс правило слияния перечислений. Не проще ли принять, что бесконечность — это не актуальное существование, а процесс, которому (пока?) нет завершения. Конечное в таком понимании = законченное. Это наше настоящее; а прошлое и будущее — бесконечность.

Если честно, то не все так просто. Иерархия настоящего содержит особые уровни — образы прошлого и будущего. Точно так же, в любой бесконечности выделяются конечные структуры — своего рода проекция настоящего, перенос точки отсчета (как в английской грамматике: future in the past, future perfect). Но это тема для другого разговора.

Вернемся к Кантору. Трудно со всей определенностью установить: то ли непонимание современников довело беднягу до помешательства — то ли он успешно заразил последующие поколения своими болезненными теориями. Скорее всего, оба предположения верны. Ясно одно: строить теорию множеств вообще — значит, вообще ничего не строить. Пока мы не определились с тем, что именно способно становиться элементами интересующих нас множеств, пока наши конструкции не станут предметными, — нам просто не о чем разговаривать, и нет в этом никакой науки — сплошная беспредметность. Мы просто не знаем, как с чем обращаться, что можно и чего нельзя. Заметим: никто не запрещает рассматривать множества абстрактных идей — но не каких угодно, а совместимых, естественно связанных логикой предмета. А всякий предмет, помимо всего прочего, предполагает единство противоположностей: конечности и бесконечности, дискретности и непрерывности, границы и безграничности... Если мы собираемся изучать числа — первичные, всеобщие противоположности логично заложить в теорию с самого начала: например, в виде натурального ряда и вещественной оси. Здесь не требуется ничего доказывать — это исходный пункт развития. Потом будем честно исследовать практически полезные свойства предмета — или иногда интересоваться всякой экзотикой, в качестве поиска иной предметности. Попытки формально обосновать то, что обусловлено лишь объективно данным порядком вещей, — болезненное самокопание, нездоровая рефлексия, логический круг, вывод себя через себя, убогая диагональ. Извращение, ненормальность. Хорошо, если безумие Кантора поможет нам это осознать.

ноябрь 1984