Фантазии и реальность

Математика бывает разная. Большинство ученых работают над вполне конкретными задачами, совершенствуют формальный инструментарий в интересах практиков (включая математические приложения). Здесь вполне уместно попробовать разные варианты и подобрать наиболее жизнеспособные схемы. Еще одна категория — математические забавы, решение абстрактных головоломок, не имеющих практического значения. Математики-любители таким способом осваивают накопленный за столетия теоретический материал; для профессионалов это и отдых от производственной рутины — и возможность расширить кругозор, поднатореть в смежных (или не очень близких) отраслях. Наконец, есть фундаментальная наука — основы математики, технология обоснования приемов формализации, а заодно и самооправдания перед лицом влиятельных спонсоров.

Со стороны фундаментальная математика часто выглядит полнейшим бредом. То есть, конечно, мы можем понять, когда уважаемый человек на досуге вырезает из бумаги солдатиков; но если он всерьез намерен создать таким образом сильнейшую армию и покорить мир — надо выяснять, что у него не так с общей биохимией и с функциональными системами мозга. Разумеется, не все болезни надо лечить: безобидный идиотизм требует лишь регулярного присмотра и минимальной поведенческой коррекции. В отличие от шизофрении, когда человек сознает болезненность своих фантазий, и ему от этого больно, большой математик живет в своем выдуманном мире — и совершенно счастлив, будучи уверен, что это и есть единственно правильная реальность. Все окружающее он воспринимает как несовершенные "модели" непреложной истины — и видит лишь то, что лично его в этом устраивает.

Конечно, случается такое не только с математиками. Но если, грешным делом, я начну заваливать академические инстанции стройными теориями почкования зеленых чертиков — меня, в лучшем случае, пожизненно занесут в черные списки и от чего-то отлучат; в тяжелых вариантах — можно и в медицину подзалететь. Ну а какой-нибудь (и без того небедный) дядя становится еще богаче за открытия в области недоказуемости нетривиальности...

Типичная фундаментальная теория возникает так: мы примерно знаем, как устроены какие-то вещи, — давайте вообразим себе, что есть нечто, устроенное не так, и выясним, какие у этого нечто можно было бы наблюдать особенности. До какого-то момента все путем. Мы не знаем, что у нас получилось, — но можем это как-нибудь назвать (язык все стерпит) и наиграться в бумажных солдатиков на всю оставшуюся жизнь. Проблемы идут косяком, когда автор (возможно, коллективный) забывает, что он сам все выдумал, и начинает приписывать миру то, чего там отродясь не было. Другие авторы начинают с уже отформатированного бреда — и выясняют, что можно в нем дофантазировать, чтобы получить следующую, еще более надуманную теорию. В итоге имеем то, что имеем: полный отрыв фундаментальной математики от жизненных (и научных) реалий.

Самое забавное — что даже в такой безбашенной математике рождается немало ценного и полезного. Мир сам по себе — основа всему, и болезненные извращения возможны лишь в рамках объективной необходимости. Извращенность науки — отражение болезней общества, недостаточной разумности современного человечества. Соблюдение правил игры приобрело самоценность на этапе перерастания доисторической дикости в дикость цивилизованную: удержать вместе не умеющих по-человечески общаться можно только в рамках формального общения. С распадом классовой экономики (если кто-нибудь до него досуществует) все значительно упростится — хотя бы потому, что уже не надо будет никому ничего доказывать.

Заметим, что в любой, сколь угодно заумной теории где-то в глубине прослеживаются вполне земные корни. Поэтому господа-изобретатели, как правило, не производят на свет ничего нового, а лишь переносят уже известное на свой фантастический мир, — и мы снова и снова встречаемся с теми же идеями точки, числа, порядка, сложения и умножения... И все в рамках приличий: усеченная двузначная логика, подведение особенного под всеобщее, дедуктивный метод, искусственная структурность и внушительный ссылочный аппарат. То есть, все очень красиво — только непонятно, о чем и зачем. Насчет убедительности — тут мы не будем. Математические доказательства даже больших математиков уже не убеждают. А сам факт возможности произвольно переиначить любую "строгую" теорию — намек на скрытую (а иногда и неприкрытую) нестрогость. Для чего, конечно, тоже придуманы ученые слова. Например, в нестандартном анализе из кожи вон лезут, чтобы доказать существование нестандартных индивидов. Каких только ультрафильтров не наваяют! А в итоге приходится признать, что все сводится к банальной аксиоме выбора (или какому-то из ее эквивалентов). Которая давно уже стала своего рода эталоном, символом свободы произвола. И если пресловутые классы Рассела таки запретили — то без аксиомы выбора полету математической фантазии просто швах.

Нестандартный анализ обсуждает придуманные сущности, исходя из набора правил ad hoc. Конструкция искусственно заточена под уже известные результаты анализа, и обладает лишь некоторой эвристической ценностью. Почему? Да потому что никаких житейских примеров для населяющих теорию гиперобъектов до сих пор нет. По жизни у нас все рационально. Даже вещественные числа — уже за гранью практически доступного, и судить о них мы можем только по косвенным приметам, интерполируя цепочку наблюдений. Более масштабные бесконечности вылезают в квантовой теории — однако они предусмотрительно объявлены ненаблюдаемыми, чтобы не пришлось по жизни переселяться в какое-нибудь гильбертово пространство... Значит ли это, что математические бесконечности — все как один порочны? Отнюдь. Просто работать с бесконечностями надо аккуратнее, и не выдавать игру воображения за факт бытия.

В качестве иллюстрации — обратимся к обычной математике ординалов. Про целые числа все знают. Когда их используют для указания порядка пересчета, они называются конечными ординалами. За каждым целым числом следует еще одно, и так можно повторять, пока не надоест. Поэтому целые числа образуют своего рода эталонную шкалу для измерения всех вообще конечных вещей: при любой длине шага можно добраться из пункта A в пункт B за целое число шагов. Если на последнем шаге пролетаем слишком далеко — от предыдущего пункта идем шагами вдвое меньшей длины, и так далее. Пока не окажемся совсем рядом (в пределах требуемой точности). Понятно, что можно с самого начала было выбрать достаточно маленькую длину шага, и тогда расстояние между A и B выражается целым числом. В честь древнего грека, такие шкалы называются архимедовыми.

Тут математики начинают показывать ловкость рук. Любимый фокус — индуктивные (рекурсивные) определения. Утверждается, что, если есть целое число 1, и за каждым целым числом n следует целое n + 1, то существует рекурсивно определенное множество N, содержащее все вообще целые (натуральные) числа. Всякий нормальный человек тут же увидит полнейшее тождество этой логики аксиоме выбора: если из каждого множество выбрать по одному элементу, эти элементы составят некоторое множество. Учитывая, что конечные ординалы часто представляют множествами (по схеме фон Неймана), сходство становится просто разительным. Однако математики будут возражать: это другое...

Ладно, пусть другое. Но почему, собственно, из возможности что-то построить вытекает его существование? Теоретически, в любом достаточно просторном месте можно построить дом. Но если я захочу построить себе махонький домик в Париже на площади Конкорд — кто мне даст? Поэтому жить приходится в другом месте. Мы знаем, что можно вообразить себе целое число, большее любого наперед заданного (а не абстрактно обозначенного буквой n) целого числа. Из этого никак не следует, что такое целое число уже построено. Может быть, оно пока никому еще не потребовалось — и остается только в возможности, а отнюдь не на самом деле. А какой-нибудь компьютер может сказать, что у него не хватает разрядности для таких чисел, и на самом деле построить его вообще нельзя, а можно только вообразить. Надо быть математиком, чтобы так беспардонно путать фантазии и действительность.

Еще раз ладно, проглотим не очень красивые фокусы и допустим, что существует объединение всех вообще целых чисел. Но почему это обязательно будет множеством? После парадоксов Рассела все, вроде бы, согласились считать множествами только элементы некоего стандартного универсума. А все остальное называть классами — и при их обсуждении не требовать особой строгости. В нестандартном анализе доказывают, что набор N не является "внутренним" множеством — не принадлежит стандартному универсуму. Но по старой традиции его все равно объявляют множеством (хотя бы "внешним"), а заодно говорят и о множестве всех действительных чисел, и множестве всех подмножеств некоторого множества... Эти словесные вольности не безобидны. Из них вырастает безумно абстрактная игра бесконечностями.

Если мы все же согласимся считать N множеством, встает вопрос о количестве элементов. Понятно, что оно больше любого заранее заданного целого числа — и мерить такие числа надо как-то иначе. Нам говорят, что количество элементов множества N бесконечно, и для него следует использовать какое-нибудь специальное обозначение: например À₀ (подразумевая, что могут быть и другие бесконечности, обозначаемые соответственно). Вообще-то для обозначения бесконечности у нас уже есть знак ∞. Спрашивается, зачем нужен еще один? Ответ: чтобы играть было интереснее. А к реальности это с самого начала отношения не имеет. То есть, есть бесконечность вообще (∞) — и есть конкретные типы бесконечности: кардинальные числа и ординалы.

Поскольку "множество" N по определению больше любого конечного множества (каждое из которых есть одна из реализаций, "модель" целого числа), оно представляет некоторое порядковое число, большее всех конечных ординалов. В этом контексте его обычно обозначают знаком ω. Дескать, мы его придумали — и поэтому оно существует. Дальше — больше. По аналогии с натуральными числами, предполагают существование (бесконечного) ординала ω + 1, который строго больше, чем ω. А дальше — опять фокус с индукцией, и нам преподносят якобы существующее множество ω + n, для всех (конечных) целых n. Потом идет ординал ω + ω = ω ⋅ 2, к которому тоже можно прибавить единицу, — и пошло-поехало: получите любые комбинации вида ω ⋅ k + n, а потом еще и ω ⋅ ω = ω², и все последующие по той же схеме. Красота! Играться можно очень долго — до (счетной) бесконечности ε₀, плюс что-то за ней, и еще дальше — к первой несчетной бесконечности ω₁ ... Для фантастических бесконечностей вводят набор аксиом — а дальше это становится точной наукой, предметом профессиональной гордости и высокодоходным бизнесом.

На дилетантский взгляд, все очень и очень странно. Если, например, аксиому α + 0 = α для любых ординалов еще как-то можно принять — то аксиомы α ⋅ 0 = 0 или α⁰ = 1 вызывают серьезные сомнения. Нас в школе учили, что ∞ ⋅ 0 и ∞⁰ — это "неопределенности", которые надо честно "раскрывать", используя дополнительную информацию (в каждой ситуации получается по-своему). Далее, операция сложения для ординалов оказывается некоммутативной:

ω + 1 > ω, 1 + ω = ω

В общем случае сложение приходится определять через задний проход:

α + γ = sup{α + β ∣ β < γ }

Однако всем хорошо известно, что существование точной верхней грани в обществе бесконечных чисел — это не самый тривиальный вопрос; вообще говоря, тут без (подпольно протаскиваемой) аксиомы выбора никак не обойтись. Понятно, что если наших солдатиков предполагается использовать в условиях применимости всех сделанных допущений, — тогда сколько угодно. Для игры сгодится. Но в науке так не бывает: нам надо строить не теорию абы чего, а удобный рабочий инструмент, для практических нужд. Где применимость формул определяется предметной областью, а не благими пожеланиями.

В нестандартном анализе замечают, что числа вида ω – n также оказываются бесконечно большими (больше любого целого числа). Неопределенность вида ω – ω понимаются в смысле еще одного гиперцелого числа, которое меньше ω, но больше любого целого. Класс гиперцелых чисел оказывается, таким образом, всюду плотным: между любыми двумя бесконечностями возможно вставить еще одну. С одной стороны, это делает подход ближе к стандарту упорядоченного поля; но с другой стороны, существование всех этих бесконечностей остается вопросом субъективного произвола.

Законный вопрос: а почему мы вдруг решили пожертвовать именно коммутативностью сложения и умножения, а не какими-то еще свойствами целых чисел? То есть, полученное упорядочение бесконечностей все равно уже не будет полем, и от чего-то надо отказываться. Но давайте определим сложение как-нибудь иначе; например

α + β = sup{α' + β' ∣ α' < α & β' < β }

Такое сложение очевидно коммутативно и обладает замечательными свойствами: ω + 1 = ω, 1 + ω = ω, ω + ω = ω ⋅ 2 = 2 ⋅ ω = ω. Тогда весь зоопарк счетных ординалов становится полнейшей фикцией: есть одна-единственная счетная бесконечность, и мусора меньше в голове. Дальше мы таким же способом вводим отдельную бесконечность для отрицательных целых чисел: –ω, так что –ω – n = –ω. Тем самым, у нас есть полностью упорядоченное поле с одним маленьким исключением: неравенства n + 1 ≥ n и n – 1 ≤ n — не всегда строгие. Но это значительно слабее, чем отказ от коммутативности! Теоретически, можно положить ω – ω = 0, ω + (–ω) = 0. Тогда наша система оказывается замкнутой по отношению к сложению и вычитанию. Однако более корректное решение — в русле обычного анализа, считать это неопределенностями типа ∞ – ∞, которые надо раскрывать, исходя из дополнительной информации.

Таким образом, фантастические миры господ-математиков нормальному человеку совершенно ни к чему. Есть положительная и отрицательная бесконечности — и естественно определяется переход к бесконечному пределу. Точно так же, есть единственная бесконечно малая величина 1 / ω (предел сверху) — и ей соответствует бесконечно малая 1 / –ω (предел снизу). Мы полностью остаемся в рамках стандартного анализа, и любуемся стройной красотой.

Заметим, что существование несчетной бесконечности À₁ (или ω₁) — это особый разговор. Но заранее ясно: все гораздо проще, чем то, в чем нас пытаются убедить. Так, легко видеть, что наше "симметризованное" определение сложения прекрасно работает и для действительных чисел — а это значит, что счетная бесконечность ω в этом случае совпадает с несчетной бесконечностью ω₁ и всеми прочими несчетными ординалами! То есть, несчетность не сводится к чисто количественной определенности — это качественное различие дискретности и непрерывности, которые прекрасно сосуществуют и в ограниченной области — например, в интервале (0, 1). Заодно оказывается, что счетность пространства рациональных чисел — иного свойства, нежели в натуральной последовательности. Отсюда много чего следует.

Если научиться аккуратно работать с множествами и их отображениями, и не слишком верить в слова "и так далее" (определения по индукции), — можно приручить и бесконечности высших порядков, подружить их с реальностью. Тогда мы и в квантах не запутаемся, и световой барьер нам не указ!

1997