Множества: элементарно

Про элементы и множества большинство наслышано со школьной скамьи — а некоторые еще раньше. Пока по жизни еще требуется какая-то наука, мысли о множествах становятся естественным фоном для прочих изысканий — чем-то предшествующим всякой формализации, ее непременным условием. Что-то кому-то принадлежит — а у кого-то нет ничего... Такова наша повседневность. Вот и называем то, что имеет хозяина — элементом, а самого этого хозяина — множеством. Бывает и так, что хозяин одного принадлежит другому. Приходится разбираться: тех, кто по должности имущий, — в один класс; тех, кому судьбой назначено принадлежать, — в другой. То есть, помимо множеств, есть еще и классы, которые очень на множества похожи — но не совсем.

То, как мы работаем с множествами и их элементами, — не с потолка взято, а копирует тысячелетиями закрепленные общественные порядки. В теории множеств математика — лишь иная формулировка (буржуазной) социологии, с ее основным вопросом: свой или чужой? Отношение к другому напрямую зависит от его классовой (сословной, расовой, этнической, гражданской, корпоративной, клановой, тусовочной) принадлежности. Поэтому нам важно четко определиться с главным: принадлежит элемент множеству или нет; а внутреннее строение множества — это уже следующий вопрос. Ясно, что есть в жизни и то, что не вписывается в теоретико-множественные рамки; но коль скоро мы провозгласили примат черно-белой логики, неудобные вопросы можно задвинуть в дальний угол, откуда их время от времени вытаскивают прикладные науки, наряжают в математические платьица и восклицают: как мило! — а на практике быстро переходят от формальностей к чему-то не столь приличному.

С точки зрения множества — все его элементы на одно лицо. Они, конечно, разные (иначе как бы мы говорили о множестве?) — но в каком-то высшем смысле все едино. Впрочем, сами элементы с высшим смыслом далеко не всегда согласны: им есть что делить — и одним достается больше, чем другим. То есть, при всей качественной однородности, имеются существенные количественные различия. Закон, вроде бы, для всех один — но очень большие массы во взаимоотношениях со всякой мелюзгой могут им спокойно пренебречь (хотя с другими массивными приходится быть осторожнее). Как бы то ни было вопрос о различии одинаковых есть, и разбираться с ним каждому поколению придется по-своему.

Математик поступает просто: каждому элементу множества можно формально приписать число — его "общественный" вес, уровень существенности для целого. Если, например, у нас есть множество из двух элементов {слон, банан}, мы задаемся вопросом: а сколько слонов и бананов у нас таки есть? — и если оказывается, что бананов на порядок больше, чем слонов, мы называем это множеством бананов с примесью слонов, а если наоборот — множеством слонов с примесью бананов. В точном соответствии с тем, как приписывание каждому человеку веса по размеру капитала приводит к выводу, что этот мир — для богатых, а бедные в нем — лишь досадное недоразумение, источник мелких неприятностей... В идеале бедных надо бы вообще загнать в какую-нибудь резервацию — выделить в отдельное множество. Пытались не раз — не получается; и в математике это нашло свое специфическое выражение.

Да, конечно, не составляет труда формально представить сообщество слонов с бананами (так сказать, "смешанное" состояние) как объединение двух "чистых" ("одноэлементных") множеств:

{слон, банан} = {слон} ∪ {банан}.

Но что это нам дает? На первый взгляд ничего. Однако если вспомнить, что принадлежность множеству — не божественное откровение, а нечто, поддающееся практической проверке, мы видим очень даже существенное различие правой и левой части этого (мета)равенства: слева предполагается, что есть единая процедура определения принадлежности, не зависящая от качества каждого элемента; переходя к объединению, мы допускаем, что есть две разные процедуры: слоновость устанавливается иначе, чем банановость; наконец, приравнивая одно другому мы делаем очень сильное утверждение о том, что некая деятельность всегда приводит к тому же результату, что другая, на исходную не обязательно похожая. И тут возникает бездна вопросов: как понимать "результат", "тот же самый", "всегда"? Разные ответы — разные теории.

Может запросто оказаться, что различие слонов и бананов существует лишь внутри множества {слон, банан}, — а сами по себе слон и банан вообще неопределимы. В классовом обществе — это сплошь и рядом: какой рабовладелец без рабов? какой капиталист без наемного труда? В математике на этот случай есть типовой прием: вместо множества {слон, банан} мы говорим о кортеже ⟨слон, банан⟩ — который потом пытаются жульнически отождествить с упорядоченным множеством, а это чревато последствиями: то есть, помимо множественности есть, оказывается, еще и порядочность — а в итоге сущности начинают плодиться совершенно хаотически, и всякой разумности конец.

Математик с негодованием отвергнет подозрения. Разве не очевидно, что упорядочить множество из двух элементов можно очень просто? — надо лишь указать, какой из элементов считается первым! Тогда кортеж ⟨слон, банан⟩ есть просто другая запись для множества {слон, {слон, банан}}.

Нет, не очевидно. Что мы понимаем под "указанием"? Вариантов миллион. В частности, можно считать первым элемент с наибольшим весом, и выстраивать порядок от "солидных" элементов к не очень весомым. А жульничество состоит в том, что множество {слон, банан} — это именно множество, и напрямую ничьим элементом стать не может. По-честному, следовало бы говорить о множестве {слон, X}, где X в каком-то смысле равно множеству {слон, банан}. Тут уже и дураку ясно, что смыслов разных много, и "теоретико-множественное" определение кортежа сильно зависит от способа сведения сложных сущностей (множеств) к простым (элементам).

Даже для одноэлементных множеств, элемент слон — вовсе не то же самое, что множество {слон}. То, что можно усматривать в множествах, не всегда уместно по отношению к элементам, и наоборот. Например, мы говорим о мощности множества: мощность элемента в классической теории есть нонсенс, тогда как мощность одноэлементного множества (по определению) равна единице. Элементы могут принадлежать множествам; множества, в лучшем случае, могут быть лишь подмножествами (и здесь свои подводные камни).

По жизни, мы можем запросто рассматривать одно и то в разных аспектах — в зависимости от того, что мы собираемся с этим делать. Книгу можно читать — а можно подпереть ею что-нибудь; иногда книги используют на растопку; иногда разжигают ими вражду — или, наоборот, делают символом единства... Точно так же, одно и то же не возбраняется трактовать то как множество, то как элемент, — но это разные трактовки! Путать одно с другим в рамках одного рассуждения — это логическая ошибка. Ясно, что мы опять упираемся в тот же вопрос: что есть "одно и то же"? Никакая формальная теория ответа не даст — это сугубо практическая задача. Легко видеть, что при любом понимании единого "элементарность" или "множественность" становятся его разными сторонами, аспектами, разными способами употребления. Иногда такие частные проявления почти не зависят друг от друга (например, можно быть хорошим танцором и плохим семьянином); на практике чаще бывает, что противоположности взаимосвязаны — вплоть до полного неприятия друг друга, так что определяя одно, мы полностью определяем и другое. Взятое как элемент — не множество; взятое как множество — не элемент.

Можно ли представить себе нечто, являющееся вместе и тем, и другим? Можно. Однако для этого придется выйти за рамки классической теории множеств и рассматривать какие-то суперпозиции "чистых" состояний, или аналог квантовомеханической матрицы плотности. Такая математика по-своему интересна — но это другая наука.

А пока вернемся к множествам, элементы которых, помимо качественной определенности, имеют еще и собственное количество — веса. Может показаться, что это всего лишь обобщение классических множеств, для которых веса всегда равны единице. Ну, будем мы считать, что какие-то элементы существуют в нескольких экземплярах... Чтобы исчерпать множество, мы периодически запускаем лапу внутрь — и вытаскиваем что-нибудь: пусть будет выборка с повторениями. Нам это хорошо знакомо и по математической статистике, и по работе с компьютерами (объекты типа bag и разные итераторы). Ничего нового.

Ан нет! Множества с повторениями — совсем не то же самое, что "взвешенные" множества. В первом случае речь идет о классах эквивалентности; во втором — о степени присутствия каждого элемента, нерасчленимой на единичности. Выборка первого типа даст полное количество объектов всех сортов (вместе с количеством по каждому сорту); выборка второго типа дает каждый элемент только раз — но с каким-то весом (в определенной модификации). Так различаются классическая и квантовая статистика.

Вроде бы, и это не новость. Уже придумали теорию нечетких множеств — которая, впрочем, пока не теория, а благое пожелание, шаблон для конкретных реализаций в зависимости от методов работы с функциями принадлежности. Действительно, идея здоровая: элемент принадлежит множеству не на все сто, а только частично, и надо различать объем множества (количество элементов) и его массу (сумму весов). В принципе, веса могут быть любыми вещественными числами — всегда можно нормировать их на общую массу и свести к диапазону (0, 1); но можно и не сводить, а нормировать на количество элементов, переходя тем самым от количеств к плотностям, что очень удобно для бесконечных множеств. Богатство возможностей для приложений только в плюс.

Чего в этом компоте не хватает? Не хватает собственно науки. Если мы научились нажимать на кнопки компьютера и тыкать пальцами в экран телефона — это не делает нас специалистами по информационным технологиям, или хотя бы продвинутыми пользователями. Обезьяньи методы работы с множествами ни на йоту не проясняют сути дела: мы не знаем, почему именно так, и в каких случаях следует поступать иначе. А жить плесенью на вулкане — как-то не по-людски. На то и разум, чтобы вместе с наукой росло знание о ее границах.

Математики склонны верить, что формальные конструкции существуют сами по себе, что они даны человечеству свыше, а все сущее лишь представляет всеобщие идеи случайным и неполным образом. Отсюда путаница в современной терминологии: моделями в математике называют частные реализации абстрактных схем, — тогда как на самом деле все обстоит как раз наоборот: математические теории — очень бледное, однобокое, приблизительное отражение каких-то сторон человеческой деятельности, и требуется очень многое к математике добавлять, чтобы формально-математические скелеты реальных вещей стали содержательными.

Формальное знание чаще всего лишь завуалированная форма признания в собственном невежестве. Дескать, мы ничего не понимаем — но надуваем щеки и делаем умный вид. Если кто поинтересуется: чего ради? — ответ всегда готов: а у нас обычай такой! Другими словами: коли не нравится — идите куда подальше... С одной стороны, сам факт сознательного выбора способа деятельности — это уже хорошо. Но когда начинают все на свете подгонять под привычные шаблоны — хорошего мало. Поскольку мир такой подгонке активно сопротивляется, выбор превращается в самоизоляцию, отвержение всего, что не вписывается: то, чем мы привыкли заниматься, — это наука; а кто хочет иначе — тому не место в академическом сообществе. С должными организационными выводами и финансовыми последствиями.

Наука начинается со стремления всему дать название, заменить работу с вещами работой с их абстрактными представителями, терминами и формулами. Важно, чтобы наука на этом не остановилась. Например, в медицине многие болезни названы по тому органу, который в каком-то смысле работает неправильно: гастрит, бронхит, пародонтит, синусит и т д; что там конкретно не в порядке — следующий вопрос, за которым, в свою очередь, следует вопрос о причинах. Математика — это, прежде всего, универсальная технология придумывания имен. Поиск сути — потом, другими методами.

От того, что мы как-то что-то назовем, знания не прибавится. Называние — важная подготовительная ступень познания, своего рода декларация о намерениях: мы заметили какую-то особенность в окружающем мире — и начинаем присматриваться и досконально разбираться. Если мы знаем, как обращаться с множествами — прекрасно; давайте теперь соображать, а что, собственно, мы делаем.

В общефилософском плане, у всякой деятельности есть объект и продукт — а субъект нужен, чтобы преобразовать одно в другое. В рамках каждой конкретной деятельности, природа нам поначалу представляется хаосом вещей и явлений — объектов. Их этой мешанины нам предстоит выбрать то, что может пригодиться для продвижения к намеченной цели. Всякое блюдо требует каких-то ингредиентов; мы идем за ними в окружающую среду — и проставляем галочки напротив тех запросов, которые уже удовлетворены. Когда все пункты отмечены — можно приступать к работе: у нас есть тот объект, из которого мы производим наш продукт. Этот объект в математике называется множеством.

Отсюда уже многое следует. Для того, чтобы нечто могло стать элементом множества, оно должно обладать вполне определенным (в данном контексте) свойствами — удовлетворять производственную потребность. Когда прораб звонит на стройку и спрашивает бригадира: у вас гвозди есть? — требуется не формальный ответ (да, завалялось несколько штук), а оценка достаточности запаса для определенной работы. Иначе говоря, принадлежность элемента множеству означает конец некоторой работы (комплектование) и предполагает переход к другой (выработка продукции).

Далее, поскольку список ингредиентов определен продуктом деятельности, а не условиями ее протекания, конструировать множества мы можем очень по-разному. В простейшем случае, у нас есть нечто вроде набора мерок, которые предстоит наполнить предметным содержанием (одно яйцо, двести граммов муки, сто граммов сахара, щепотка соли, разрыхлитель на кончике ножа, четверть стакана сливок). Если чего-то нет под рукой — можно приспособить не совсем такое, но в том же духе, соответственно изменив исходные пропорции. Каждый продукт, следовательно, определяет, вообще говоря, не единственное множество, а некоторый универсум, строение которого мы можем формально изучать. То есть, вместо одной теории множеств на всех нам нужны особенные теории множеств для разных формальных моделей (математических продуктов). Степень похожести таких множеств друг на друга никак не связана с их собственным устройством — она идет извне, от подобия соответствующих деятельностей.

Философия указывает, что деятельность (поскольку она разумна) не может быть чистой случайностью, чем-то однократным и неповторимым; деятельность — это культурное явление, регулярное воспроизводство некоторого продукта и необходимых для этого общественных условий. А значит, подготовка производства и собственно производственный процесс не обязательно следуют строго одно за другим и могут быть относительно независимы: мы понемногу собираем все необходимое, а когда набирается достаточно — расходуем запас; остатки переходят на следующий цикл производства. Вот вам и математическая абстракция "взвешенного" множества: "склад", набор ячеек для исходных материалов плюс степень наполнения каждой ячейки. А тут, опять же, самые разные возможности. Если контейнеры достаточно вместительные, а ингредиенты не очень друг с другом взаимодействуют, — можно хранить их сколько угодно в одной ячейке; но бывает и так, что в одну ячейку помещается только один элемент — либо ни одного. Так "бозонные" множества отличаются от "фермионных" (именно последними занимается классическая теория множеств). Плюс всяческие комбинированные варианты.

Важное замечание на полях: количественные различия элементов связаны с циклами воспроизводства — они в статической теории представляют время. В математике всегда присутствуют эти две стороны: качественная определенность (пространственность) и счет (последовательность, порядок — абстракция времени). Мы можем сколько угодно выражать одно через другое — это не устраняет противоположности, а лишь прячет ее, переносит ее куда-то еще. Единство пространства и времени возможно лишь в особой деятельности, которую здесь можно условно назвать измерением.

Так наш скромный производственный склад неожиданно вырастает в целое пространство: каждому элементу множества отвечает некоторое пространственное измерение, а веса элементов превращаются в пространственные размеры по соответствующим осям. В этой картине обычные, классические множества представляются разного рода гиперкубами; какие-то нетривиальные конструкции могут быть связаны с областями произвольной формы. В качестве альтернативы, классические множества представляются точками такого пространства; здесь выход на другие обобщения — и в частности, открывается возможность изучать динамику преобразования одних множеств в другие — разумеется, в рамках некоторой деятельности, по отношению к ее продукту.

Но и это еще не все. Классические обобщения классических множеств подразумевают вполне определенный способ проверки принадлежности элемента: если мы что-то положили в ящик — оно там и лежит, пока не дойдет дело до инвентаризации... Другими словами: элементы множества хорошо изолированы друг от друга, они никак не взаимодействуют меж собой. Но на практике так бывает далеко не всегда. Вещи портятся, превращаются в другие, перемещаются в процессе хранения, соединяются и разъединяются. Мы закладываем в печь тесто — а вынимаем хлеб; сажаем семечко — а получаем нечто плодоносящее. Наконец, процедура выдачи со склада (выборка) иногда предполагает разного рода преобразования: если в банке у нас есть счета в рублях, долларах и евро, — мы вполне можем получить часть вклада в швейцарских франках. Так рождаются квантовые множества.

То есть, единая числовая оценка принадлежности элемента множеству расщепляется на две половинки — точно так же, как в квантовой механике от вероятностей переходят к "амплитудам". В дираковской нотации, возможные поступления элементов связаны с векторами некоторого пространства |α⟩, а возможные результаты выборки — с функционалами ⟨μ|, так что вероятность получить "функцию принадлежности" μ для множества в состоянии α связана с амплитудой перехода ⟨μ|α⟩. Еще нагляднее тесная связь множеств с деятельностью в так называемом представлении вторичного квантования, когда добавление элемента a сводится к действию оператора рождения a⁺, а выборка — к действию оператора уничтожения a^–. Как и в квантовой механике, операторы, вообще говоря, некоммутативны, и структура множества зависит от способа его конструирования. Когда в математике лихо отождествляют полученные разными способами объекты (2 = 1+1 = 3–1 = 12/6), здесь неявно предполагается существование некоторой деятельности, в рамках которой такие продукты равноценны: это не формальный произвол, а сугубо практический вопрос. Нет такой практической подоплеки (пусть даже в форме детской забавы или абстрактного любопытства) — и нет вообще никакой науки: в лучшем случае, искусство манипуляции (символами, или общественным мнением).

Итак, множество с точки зрения образующей деятельности есть просто набор ярлыков, этикеток, которые мы навешиваем на что угодно, хотя бы отдаленно имеющее отношение к делу. В психологии такая категоризация, отнесение явлений к заранее заданным группам, называется восприятием — и его отличие от ощущения как раз в этой активной сортировке всего и вся. Ощущение — это образ предмета как он есть; и мы так устроены, чтобы такое отражение было возможно. Ощущения могут быть недостаточными — но они нас не обманывают. Восприятие — это образ предмета как мы его себе представляем; отсюда возможность иллюзий и заблуждений. Историческое развитие в этом плане представляет собой выработку разных наборов представлений, заточенных каждый под свою задачу. В идеале, в любой деятельности мы должны пользоваться такими шкалами, строение которых наиболее полно воспроизводит строение деятельности; часто приходится ограничиваться приблизительным соответствием — но какой-то выбор неизбежен, он позволяет деятельности выделить из окружающего мира ее объект. Такие предпочтительные перцептивные шкалы в психологии называют установками, а в математике — множествами. По-английски это вообще одно и то же слово (set).

В этом контексте понятно, что формальные конструкции вроде "пустого множества" или "множества всех множеств" множествами быть никак не могут: они принадлежат другим уровням деятельности, в другой предметной области. Наши представления культурно обусловлены — и потому возможны не какие-угодно установки, а те, что уже сформировались на практике. Каждая предметная область в культуре связана с определенными типами деятельности. Соответственно, предметная область соотносится с идеей пустого множества, а иерархия возможных шкал задает некоторый универсум, по отношению к которому множества ведут себя как элементы; при это множество как элемент универсума — не то же самое, что множество как набор элементов, и логически неправильно было бы смешивать эти уровни в одном рассуждении.

Может показаться, что идея множества более фундаментальна, чем идея "взвешенного" множества: при формальном рассмотрении кажется, что мы лишь "накладываем" на множество дополнительные характеристики, приписываем элементам веса (или степени заполнения). Но столь же формально можно полагать, что, наоборот, множество — частный случай "взвешенного" множества: просто веса элементов для множества равны единице, и все дополнительные возможности редуцируются; обычное множество получается из "взвешенного" операцией типа проекции. Реально и то, и другое — разные уровни деятельности, а во всякой иерархии порядок уровней может быть разным, в зависимости от способа развертывания. Разумеется, в каких-то случаях допустимо представлять себе дело так, будто есть готовый набор ящичков, которые можно каким-то образом наполнять и опустошать. Но на практике это далеко не всегда так, и структура "склада" вырастает в процессе изменения его предметной базы, приспосабливается к потребностям. Взять хотя бы разные типы грузовых судов: танкеры, сухогрузы, контейнеровозы и т. д.; точно так же, появление виртуальных платежных средств существенно видоизменяет рынок валют. Мы вправе использовать любые абстракции — если помнить, что у каждой ограниченная область применимости. Родство абстрактных понятий не в том, что одно из них фундаментальнее другого, а в том, что все они происходят из чего-то другого, что не вписывается целиком ни в одну абстракцию.

В пространственной картине, объединению множеств соответствует рост размерности пространства; пересечение множеств выделяет подпространство. Но с предметной точки зрения речь идет о родственных деятельностях: в обоих случаях мы интересуемся общей для них предметной базой. Искать общность можно по-разному: либо вширь, собирая вместе все, что когда-либо для чего-либо сгодилось, — либо вглубь, выявляя то, что годится сразу для многих вещей. Одно без другого не ходит: надо набрать много разного, чтобы усмотреть сходство — однако усмотреть различие мы можем только на основе предполагаемого единства. Формальная наука регулярно впадает в соблазн абстрактной универсальности: так хочется найти простейшие кирпичики мироздания — и уж больше ничего не искать, блаженно почивать на лаврах... Жизнь неоднократно наказывала человечество за такую самоуспокоенность — но до сих пор ученые верят в первопричину всего сущего: дескать, раньше мы чего-то не понимали — но уж на этот раз... В сущности, это та же религия, с другим знаком. На деле же все меняется — но не только само по себе (фоновые изменения), а еще и в результате нашей сознательной деятельности, в ходе освоения мира и его активного преобразования. Тем самым мы помещаем себя в несколько иную среду, несущую следы нашего воздействия на природу, — и добавляем еще один уровень опосредования между свойствами вещей и способами их употребления.

Новые технологии предполагают другие множества — будь то конструкционные материалы для летательных аппаратов, кулинарные ингредиенты, или пригодные для застройки территории. По мере изменения климата — меняется состав и продолжительность времен года. Вымирают какие-то из используемых человечеством языков — и возникают новые. Точно так же, единицы измерения физических величин адаптируются к вновь освоенным диапазонам. Было бы странно в математике ограничиться логическим каркасом тысячелетней давности.

Тем не менее, в культуре много того, что сохраняется долго, — если сравнивать с продолжительностью человеческой жизни, или даже исторической эпохи. Пока характер деятельности остается примерно тем же, нет смысла изобретать лишние теории; если же такие нововведения все же происходят — это всегда связано со скрытой общественной потребностью, как предвестие революции; разумеется, старых приемов работы никто не отменяет, и они долго могут сосуществовать с модами нескольких поколений.

Универсальные множества существуют только в сопоставлении с неуниверсальными, которые, в свою очередь, не универсальны лишь в отношении к ранее определенной универсальности. В каком-то другом контексте одно легко превращается в другое. Это называется обращением иерархии.

Один их очевидных претендентов на роль всеобщей основы — язык. На первый взгляд (ограничиваясь чисто когнитивной стороной), это воплощение идеи категоризации: всему свое имя, и словарь — универсум для всего. Словарный запас все время расширяется — но это регулярный процесс, который вполне укладывается в представлении о каком-то суперсловаре, где все есть, — и к которому всякий язык стремится аки последовательность ко пределу своему... Если же еще и алфавит канонизировать — тогда предел становится абсолютом, и возможно, хотя бы в принципе, достичь академической нирваны.

Конечно же, здесь нагромождение иллюзий. Язык меняется не только количественно — само содержание его становится другим. Даже в математике всего за пару-тройку столетий произошли колоссальные сдвиги — и старинные трактаты в современной интерпретации далеко не всегда соответствуют замыслу автора. То же относится и к способам записи, к "алфавиту": зоопарк математических обозначений не вмещается в уникод, это уже не просто текст, а многомерные диаграммы, привести которые к традиционной дискурсивной схеме удается лишь в каком-то приближении, в частных случаях. Слова "число", "пространство", "функция", "истинность", — и, конечно же, "множество", — каждое поколение математиков переосмысляет по-своему — и увязывает с терминологической молодежью, вроде "алгоритма", "аппликатора", "топоса" или "фрактала".

Взятые в разных пропорциях, элементы множества определяют различные продукты деятельности; однако все это происходит в рамках определенной технологии — и такие наборы исходников порождают сходные (сопоставимые) продукты. Чтобы перейти к существенно другому классу продуктов, требуется изменить объект деятельности; вообще говоря, разные объекты несопоставимы друг с другом, и объединять такие множества мы можем только на основании их участие в какой-то общей деятельности. То есть, какие-то деятельности могут относиться к некоторой деятельности "высокого уровня" (см. выше об относительности такого упорядочения). Иерархия множеств строится по образу и подобию иерархии деятельности. В простейшем случае — нечто вроде дерева; пищевая индустрия распадается на ряд относительно независимых производств: зерновые, молочные продукты, рыба, мясо... С другой стороны, в одном рецепте и мука, и яйца, и капуста, и мясо — при этом хлеб все-таки отличается от супа или шоколадных конфет. Это еще одна иллюстрация подвижности иерархий, каждая из которых может быть развернута в разные иерархические структуры — не теряя определенности. Разумеется, возможны и другие, не "деревянные" отношения между уровнями.

С учетом всего этого, теория множеств (элементарная и не очень) оказывается вписана в культурный контекст, допускающий самые разные направления формализации. Только такая математика в полной мере осмысленна. Никому не возбраняется пробовать, играть с формами; более того, практические приложения вовсе не сводятся к сугубо материальным потребностям: в нас есть еще и жажда красоты, и страсть к систематизации, и мечты о будущем... Все это требует особых инструментов, в том числе формальных. В силу единства человеческой культуры (в котором для нас выражается единство мира) даже самые странные теории не возникают из пустоты — и не совсем бесполезны. Однако чуть больше разумности в отношении к собственным творениям — никогда не повредит.