Иерархическая размерность

С тех пор, как математика (искусственно) абстрагировалась от повседневного опыта и начала заниматься исключительно формальными вопросами, мы перестали понимать, что это такое — пространство. Пространством стали называть все, что угодно. Тогда математики просто отказались от этого понятия и оставили в обиходе лишь достаточно формализованные конструкции, названия которых лишь по традиции содержат слово "пространство" — больше в смысле "многообразие". Для таких абстрактных объектов вводятся столь же абстрактные определения размерности, которые нормальному человеку ровным счетом ничего не говорят. Нам предлагают поверить на слово большим ученым и тупо применять результаты их трудов, жать на кнопки, неизвестно зачем, а тем более почему. Поскольку физика теперь больше любуется формулами, чем присматривается к природе, ждать объяснений от физиков — дело столь же напрасное. И пока философия не вырастет из детских штанишек и не перестанет косить под научность — от нее вразумительности ни на грош.

Но тем, у кого в душе еще осталась хоть капелька человеческой любознательности, время от времени хочется минимальной наглядности, интуиции не по поводу комбинирования иероглифов, а в действительных отношениях с окружающими нас вещами, а заодно и с другими людьми. Наше практическое представление о пространстве — одно из таких отношений. Да, жизнь сложна, и приходится выстраивать деятельность по-разному: это приводит к мысли о возможности различно организованных пространств. В каких-то случаях можно характеризовать такие различия понятием "размерность" — но пусть это будет именно понятие, совокупность типовых приемов построения пространств разной размерности, а не просто жонглирование символами.

Давайте попробуем хотя бы схематически наметить одно из возможных решений. Пусть каждый выбор требует пространного обсуждения оснований — ограничимся хотя бы намеками на то, для чего эти основания следует подыскать.

С точки зрения человеческой деятельности, идея пространства говорит об имеющихся возможностях. Именно в этом смысле "пространственная" лексика употребляется в быту. Научный быт — ничем здесь не выделяется. Примеры из науки привычнее, поскольку философия пока не желает смотреть ни на что другое. Ладно, пусть будет наука. С прицелом на неизбежность исследования практических приемов конструирования пространств в других областях деятельности. Будем постепенно добавлять необходимые для этого инструменты.

Начнем с того, что пространство на самом деле существует. Это не произвол, не пустая фантазия — так устроен мир на самом деле. И так же мы в этом мире действуем. Но существование пространства — не того же рода, как существование материальных вещей. Пространство не существует отдельно от вещей — это именно отношение между вещами. Такое, привязанное к материи существование в философии называют идеальным. Но и вещи не существуют вне отношений между собой — и всякая материальность соотносится с чем-то идеальным (и это не обязательно пространство). В определенных условиях идеальные сущности представлены какими-то вещами: например, слово "пространство" само по себе — просто звук, сотрясение воздуха (или краска на бумаге, или свечение экрана); но когда мы рассуждаем о пространстве, эта вещь становится его знаком — в рамках конкретной деятельности, в пределах темы. Пространство объективно — однако в каждом конкретном случае мы подходим к этой идее с какой-то одной стороны. Поэтому и любые характеристики пространства могут относиться либо к пространству самому по себе ("внутреннее устройство", независимое от наших интересов), либо к одному из возможных практических представлений (конкретной "реализации"). Речь идет не только о понятиях разных типов (уровней) — но и о расслоении каждого понятия, его многоуровневости. В соответствии с этим, мы различаем собственную ("геометрическую") размерность пространства — и внешнюю ("топологическую") размерность.

По хорошему, это не то, с чего следовало бы начинать. Скорее, наоборот: итог, высшая степень абстракции. Но поскольку здесь мы лишь представляем нечто, ранее придуманное (и продуманное), — можно идти с конца.

С точки зрения конструктивной теории размерности, точка есть исходный пункт: вакуум, "нульмерное" пространство — то есть, по сути, отсутствие пространственности как таковой. Невозможность движения и действия.

Поскольку мы говорим об объективности пространства, точка есть выражение этой объективности. Пространство состоит из точек — это лишь другое выражение существования и качественной определенности. Заметим, что точка становится качественно определенной лишь по отношению к "своему" пространству — наследует его качество. Не бывает точек самих по себе — есть только разные пространства, которые мы в каких-то случаях можем свернуть в "точку", с сохранением того же качества.

В философии есть категория, обозначаемая словом "мера" (в отличие от меры в узко-математическом понимании). Имеется в виду сама возможность соотнести одно с другим. Когда одно становится мерилом другого. Единицей измерения. То есть, с одной стороны, то, что мы измеряем, в каком-то аспекте качественно однородно с тем, что мы принимаем за единицу (соизмеримо с ним); с другой стороны, оно отличается от единицы, и это отличие мы называем количеством.

В отличие от точки, всякое измерение предполагает возможность движения в некоторых пределах ("степень свободы"). Вот это мы и называем (одномерным) пространством. При каждом конкретном выборе единицы пространственные отношения будут выражаться разными числами (или даже вообще не числами) — но сами по себе они от этого не меняются, и столь же объективен (внутренний) порядок — в нем суть одномерности.

Если есть несколько разных мер (и соответствующих единиц измерения), мы говорим о многомерном пространстве. О возможной взаимозависимости разных деятельностей — см. ниже. Здесь важно подчеркнуть, что, вообще говоря, разные измерения качественно различны, и просто так друг с другом не складываются. Например (забегая чуть вперед), чтобы построить многомерное метрическое пространство, надо каким-то образом привести разные единицы к общей мере: в форме для интервала

коэффициенты g имеют (физическую) размерность

Когда мы выражаем все размеры (допустим) в метрах, это означает, что у нас есть практическая процедура преобразования к метрам исходных единиц, которые на самом деле называются как-то вроде "длина" ("погонный метр"), "ширина", "высота" — и десятки других вариантов, в зависимости от того, что именно мы измеряем. Соответственно, полученная таким образом единая единица имеет смысл лишь постольку, поскольку есть деятельность, протекающая в пространстве именно такой размерности: например, нет смысла приводить все к долларам там, где доллар не в ходу.

В каждом приложении (в конкретной деятельности) мы представляем пространство целой положительной размерности, перечисляя его измерения в определенном порядке. В одних случаях этот порядок важен, в других нет. Само пространство никак не зависит от того, чем мы его представляем, — оно предполагает все возможные представления, и не сводится ни к одному из них. Тем не менее, набор возможностей не произволен; то общее, что есть у различных представлений одного пространства мы и называем его (геометрической) размерностью. Мы говорим, что размерность — это иерархия, допускающая развертывание разных иерархических структур (специальных представлений). Так, легко видеть, что декартово произведение пространств разной размерности N₁ и N₂, явным образом некоммутативно, хотя суммарная размерность в любом случае равна N₁ + N₂. Пространство любой размерности в этой модели выглядит как совокупность всех возможных разбиений полной размерности на суммы различного числа слагаемых. Графически это выглядит как набор древовидных структур (обращений иерархии):

плюс все возможные перестановки в последовательности (a, b, c). На практике какие-то варианты развертывания могут оказаться недоступными: например, чтобы попасть в квартиру, мы сначала должны зайти в подъезд (горизонталь), а потом подняться на лифте (вертикаль); обратный порядок предполагает способность лазить по стенам.

Традиционное в аналитической механике понятие связи позволяет конструировать пространства отрицательной размерности. Добавление измерения увеличивает размерность пространства (добавляет степень свободы); связь, наоборот, запрещает движение в определенном направлении (не обязательно по прямой) и тем самым эффективно уменьшает размерность пространства. Простейшую связь мы считаем пространством размерности –1. Комбинации связей дают связи более высокого порядка; так порождаются пространства целой отрицательной размерности.

Способ наложения связи зависит от пространства, в котором она определена и от способа его параметризации. Например, если в пространстве задана система координат, связь может быть представлена некоторым уравнением. Как и в случае (положительных) измерений, связь не зависит от способа параметризации. Однако измерения пространства выражают отношения между вещами — тогда как связь выражает отношения этих отношений; это, так сказать, идеальность более высокого уровня. Тем не менее, во многих практических ситуациях, когда важно не строение идеальности как таковой, а ее отношение к материи, различие между измерениями пространства и связями несущественно, и мы можем свободно комбинировать их, порождая пространства разной размерности.

Понятно, что, вообще говоря, пространства одной размерности могут быть устроены очень различно, в зависимости от того, в каком порядке мы добавляем измерения и налагаем связи. На практике некоторые такие последовательности могут быть просто невозможны. Но в идеальном случае, предполагая допустимость произвольных построений, размерность пространства со связями есть общая характеристика всех возможных обращений иерархии (иерархических структур). Например, с точки зрения теории атома, описание движения электрона и дырки требует решения трехчастичной задачи (включая поле атомного остатка); однако при этом атом электрически нейтрален, и его сложная структура проявляется только при близком контакте.

Подобно связям, проекторы эффективно уменьшают размерность пространства — но делают это иначе. Они соотносят N-мерное пространство с некоторым другим пространством размерности Q (пространством компонент), которое можно считать внутренним для каждой точки исходного пространства. Измерения этого внутреннего пространства и называются проекциями; их размерность равна N / Q. В частности, внутренние компоненты одномерного пространства имеют размерность 1 / Q.

Таким образом можно строить пространства любой рациональной размерности. Накладывая связи не на точки исходного пространства, а на их проекции, мы получаем также пространства отрицательной рациональной размерности. Проекция элементарной связи имеет размерность

Легко видеть, что в исходном пространстве это соответствует обычным процедурам ортогонализации, и проекция "векторов" исходного пространства на ортогональные им внутренние измерения дает ноль.

Точку исходного пространства можно построить по полному набору ее проекций. Для внутреннего пространства это соответствует построению пространства Q измерений. В терминах "декартовых степеней", мы тогда получаем естественное соотношение:

Разумеется, в реальных приложениях следует позаботиться об "ортогональности" проекций, которая в нелинейной теории достижима только локально. Но сути дела это не меняет.

Вещественные числа мы определяем как классы сходящихся последовательностей рациональных чисел (или сечения). Следуя той же логике, последовательности (иерархические структуры) пространств рациональной размерности порождают вещественные размерности. Отметим, что вещественной здесь оказывается не топологическая (внешняя), а геометрическая (собственная) размерность пространства. В общем случае топология не вытекает из геометрии, и наоборот. В некоторых частных теориях способы построения фракталов можно сопоставить с классами пространств рациональной размерности — и тогда топологическая размерность может быть понята как геометрическая; возникает своего рода изоморфизм. Но еще раз подчеркнем: изоморфизм не есть тождество. Например, точки отрезка (0, 1) однозначно отображаются на отрезок (1, 2), с полным сохранением структуры, — однако это не означает, что x = x + 1.

Индексация пространства противоположна проекции: вместо развертывания внутреннего пространства каждой точки мы, наоборот, сопоставляем ей нечто внешнее — и тем самым эффективно увеличиваем размерность. Это внешнее — "имя" точки, навешенный на нее ярлык, который, вообще говоря, может меняться при переходе от одной системы индексирования к другой. В общем случае имя может быть чем угодно — и даже вообще не подпадать под "юрисдикцию" математики. Таковы, например, физические поля или топонимы. Однако и в математике индексированные пространства не редкость. Такова, например, все координатные системы: каждой точке пространства мы ставим в соответствие набор чисел, упорядоченный в согласии с принятым порядком пространственных измерений. Это элементарное индексное пространство размерности 1 — "вектор". С другой стороны, мы можем сопоставить точке не вектор, а матрицу, "тензор ранга 2". Компоненты тензора мы перечисляем двумя индексами, и если исходное пространство имеет размерность N, компоненты тензора образуют пространство размерности N ². Очевидно, индексирование k индексами соответствует возведению размерности базового (конфигурационного) пространства в степень k.

Казалось бы, мы могли бы определить возведение в степень как многократное умножение:

Для размерности квадрат определятся, вроде бы, как

и тоже можно строить длинные цепочки. Проблема в том, что присутствующее здесь многоточие не элементарная операция, а "квантор": ее нельзя определить в терминах исходного объекта — это другой уровень логики. По сути дела, предполагается некоторая деятельность, процесс в базовом пространстве. Иногда этот процесс можно (до какой-то степени) алгоритмизировать; чаще он понимается неформально — и это неисчерпаемый источник все новых математических структур. Учитывая, что повторение целое число раз есть лишь частный случай (коль скоро мы взялись обсуждать пространства произвольной размерности), такое "простейшее" определение нас не устраивает; поэтому мы с самого начала признаем возведение в степень операцией особого рода, не сводящейся, вообще говоря, к умножению. Однако для небольшого целого числа индексов, при некоторой системе индексирования, возможно установить соответствие (изоморфизм) между полученными разными путями пространствами и соблюсти "принцип соответствия".

Легко видеть, что индексирование воспроизводит привычные свойства степени:

Действительно, если каждый индекс может принимать только одно значение, то у объекта с любым числом индексов будет только одна компонента; если индекс только один, то число компонент равно размерности базового пространства.

Каждый индекс пробегает измерения базового пространства в определенном порядке. Как уже говорилось, это соответствует одному из возможных обращений иерархии, способу ее развертывания. То же самое справедливо и в общем случае, когда конструирование пространства включает наложение связей и проекции. Последовательность применения "конструкторов" есть полный аналог пространственного измерения по отношению к набору индексов. И точно так же, на индексы могут быть наложены связи, и возможно развертывание внутренних пространств. Количество индексов (или компонент индексного пространства) тогда выражается любым рациональным (в пределе вещественным) числом. Так определяется произвольная вещественная степень размерности.

Индексное пространство размерности 0, очевидно, задает скалярное поле — числовую функцию на базовом пространстве. Ясно, что любая размерность в нулевой степени дает ноль. Будем также считать, что любая степень нульмерного пространства порождает индексное пространство без компонент. Здесь, однако, есть альтернативная возможность: можно строить разные бескомпонентные объекты, которые могут иметь сколько угодно индексов — но любая их комбинация ни на что не ссылается и ни от чего не зависит. Это вполне аналогично тому, как если бы мы различали комплексные числа нулевой (или бесконечной) амплитуды с разными фазами (что, разумеется, не принято в большинстве современных математических теорий).

Степень (–1) размерности N есть связь порядка N в индексном пространстве, эквивалентная пространству размерности (–N). Для тензоров можно представить связь наглядно как нижний (ковариантный) индекс, в отличие от контравариантных индексов для измерений индексного пространства. Наложение такой связи — просто свертка связи с одним из верхних индексов, так что общее количество индексов уменьшается на единицу, в полном соответствии с интуитивно ожидаемой картиной. Однако возможны и связи другого рода, непредставимые непосредственно в виде степени какого-либо пространства: в частности, фиксация одной из компонент объекта-степени (или некоторой линейной комбинации компонент) есть связь размерности –1 на индексном пространстве. В общем случае связываются значения многих компонент; по отношению к базовому пространству связи в индексном пространстве являются симметриями. Они не меняют размерности базового пространства, но могут накладывать ограничения на динамику (вспомним еще раз о различии геометрической и топологической размерности). Когда таких ограничений достаточно много (не меньше размерности), симметрии становятся связями.

Квадрат связи (пространства размерности –1) по смыслу есть связь, наложенная на связь (ограничение связи); эффективно это соответствует добавлению степени свободы. Таким образом, для размерностей (–1)² = 1.

Индексирование (возведение размерности в степень) есть переход от одного уровня иерархии размерности к другому, объекты которого структурированы иначе, чем исходное пространство. Для приведения их к "пространственному" виду требуется особая операция — перечисление компонент. Такое упорядочение, разумеется, можно проводить по-разному. Принципиально оно не отличается от перечисления измерений обычного пространства — однако необходимость "снятия" степени, перехода от многоиндексной величины к единственному индексу (более высокого порядка) остается, и это не чисто формальная, а практическая операция, связанная с выбором предметной области. При наличии связей, такой переход можно сравнить с каноническими преобразованиями в аналитической механике.

Каждое возведение в степень (хотя бы и дробную) есть переход на более высокий уровень иерархии, который не сводится к нижележащим, поскольку возможны разные обращения иерархии — иерархические структуры. Различные "прообразы" пространства-степени можно назвать ветвями (листами, репликами) базового пространства. Это объекты более высокого уровня, которые имеют разную размерность, но при этом "изоморфны" друг другу. Например, двухиндексное пространство размерности 1 может быть получено как квадрат одномерного пространства — или квадрат связи. В этом случае выделяются две ветви (два обращения иерархии пространства-степени). Если индексное пространство имеет более сложное строение, ветвей будет больше (при вещественной степени — вплоть до бесконечности).

Особый интерес представляют ветви для связи на индексном пространстве ранга 2 (связи на компоненты квадратной матрицы). Такая связь имеет геометрическую размерность –1, а поиск ветвей формально требует извлечения квадратного корня. Так мы приходим к понятию мнимой размерности (+i) и мнимой связи (–i) — и к теории пространств произвольной комплексной размерности, которые в простейшем случае представляются в виде "декартова" произведения вещественной и мнимой части.