Измерение в математике

Математики часто изображают свою науку совершеннейшей абстракцией, не имеющей ни малейшего отношения к действительности. Они твердят, что развитие математики следует ее собственным потребностям, безотносительно к практическим потребностям и возможным приложениям. За этим стоит глубокое убеждение в том, что принципы математического рассуждения суть нечто вечное и неизменное, предписанное неизвестно кем раз и навсегда. Опьяненные очевидными успехами формальных методов в науке и в инженерии, математики склонны полагать, что их занятия ведут к высшему (абсолютному) знанию, к окончательным критериям правильности, к истинам в последней инстанции.

Это нагромождение ходячих предрассудков разделяют многие обыватели, которым образование не позволяет заметить их очевидную несуразность. Мудрости нельзя научиться — надо неуклонно идти к ней на протяжении всей жизни. Но такого рода настойчивость не в фаворе, пока в мировой экономике господствует принцип разделения труда. Профессиональные философы плохо осведомлены о реальных возможностях науки; набор случайных сведений, к которому сводится их эрудиция, — не самая подходящая почва для выращивания универсальных идей. Массы держат в невежестве — им не остается ничего кроме веры в деяния признанных авторитетов (или хотя бы тех, кто авторитетно выглядит). Так власти навязывают обществу и непререкаемый авторитет математики.

Но если поближе присмотреться к работе практикующего математика, обнаружится, что это практически ничем не отличается от работы любого другого ученого. Действительно, на основании свойств, общих для объектов некоторого класса, мы пытаемся установить скрытые за ними зависимости; исходя из этого, мы по мере возможности делаем догадки о том, чего пока не установили со всей определенностью. Здесь математика ничем не отличается от физики, химии, биологии, лингвистики, психологии или истории. Более того, то же самое относится ко всякому процессу овладения знаниями — например, в медицине, в писательском деле или в сантехнике. Понятно, что обнаруженные закономерности не с неба падают — они обусловлены природным порядков вещей и наличествующими в культуре способами их использования. Разные отрасли учености выделяются лишь по их предмету и области приложения.

Значит, задумываясь о природе математики, мы должны, как минимум, определиться с ее предметной областью. Детали придут потом — но общее направления следует выбрать с самого начала, поскольку в противном случае никакую деятельность просто не с чего начать.

Никто не спорит: указать предмет математики — задача не из простых; битвы гигантов по поводу оснований математики всем известны, равно как и горькие разочарования, крушение иллюзий. Как обычно, дело осложняется тем, что математические идеи всегда в процессе развития: меняется как словесное оформление, так и само их содержание, — и выявить связь современных кирпичиков математического знания с их древними прототипами бывает нелегко.

Так, сегодня мы легко усматриваем нечто общее между 3 яблоками и 3 камнями. Чуть большего напряжения требует признание сходства набора из 2 камней и 1 яблока с набором 3 камней (или 3 яблок), но такое признание сразу же относит к той же категории и набор из 1 камня и 2 яблок, и, скажем, 1 камень, 1 яблоко и 1 птица. При некотором навыке, мы можем также полагать, что абстракции вроде 3 дней или 3 желаний попадают в тот же ряд. На практике такие связи возникают путем сопоставления разных наборов вещей (или идей) с одним и тем же "эталонным" набором (например, 3 пальца). Последний штрих — устранение всякой вообще предметной опоры и переход от абстракции числа 3 как общей характеристике наборов трех любых сущностей, хотя бы и очень разных по природе. Такое метод установления универсальной всеобщности называется количественным подходом.

Мы можем пойти другим путем и сосредоточиться на самом акте различения, признания индивидуальности в вещах; в этом случае вещи становятся качественно различными — и потому несравнимыми. Очевидно, абсолютное различие предполагает столь же абсолютное тождество: невозможность сравнения не дает нам никакого основания для установления различия или сходства. Все уникальные вещи, поэтому, можно считать совершенно неразличимыми, ничем не отличающимися одна от другой. Это приводит к еще одному базовому понятию математики — к индивиду вообще (точка, элемент, операция, связь, значение), — к тому, что можно считать. В частности, мы умеем считать числа.

Количественный и качественный аспекты внутренне взаимосвязаны; на практике, одно не бывает без другого — в любой деятельности. Говоря о сходстве, мы имеем в виду различие; говоря о различии — подразумеваем единство. Количественные уровни мы устанавливаем в пределах того же качества, а всякое качество сохраняется лишь в каких-то количественных пределах. Но это означает, что всякая вещь может быть охарактеризована с еще одной стороны, что и позволяет отличать качество от количества и говорить о них в одном контексте. Только по отношению к этой общей основе какие-то аспекты целого можно называть количественными, а какие-то другие — качественными. В философии такое единство качества и количества называется мерой (не путать с одноименным математическим понятием!). Определение меры чего-либо и есть акт измерения в самом широком смысле.

Чтобы измерение стало возможным, надо, чтобы различные вещи могли считаться до какой-то степени одинаковыми, то есть, соизмеримыми. Такая возможность заложена в самой организации человеческой деятельности, которая всегда начинает с некоторого объекта и производит некоторый продукт. Продукт можно считать своего рода материальным воплощением (реализацией) меры, поскольку любые объекты в рамках данной деятельности сопоставимы в их отношении к продукту: они либо годятся для его производства, либо никак не участвуют в нем, — плюс всевозможные промежуточные варианты.

Качество и количество — противоположные стороны меры, и потому их различие лишь относительно. Та же мера позволяет сравнивать вещи в каком угодно другом аспекте, не меняя общего результата. Это утверждение почти тривиально, поскольку выход измерения (количество) существенно зависит от метода измерения (качество). Ту же работу можно сделать разными способами. В зависимости от того, как мы различаем вещи, мы будем по-разному их считать.

Поскольку универсальность — одно из основных определений субъекта, любые две вещи в мире могут в каком-то контексте оказаться сравнимы. Однако сравнение предполагает соответствующую меру, а мера эта устанавливается в практической деятельности. Получается, что диапазон реальной сравнимости вещей связан с текущим уровнем культурного развития. То есть, если нам в голову пришло сопоставить одно с другим, для этого есть соответствующие общественные предпосылки; ни одна идея не возникает просто так, без ощутимого культурного толчка. Разумеется, было бы глупо каждое математическое понятие выводить из материального производства: всякая деятельность в определенных культурных условиях может породить своего рода индустрию, воспроизводящую культурные связи более высокого уровня; такую деятельность мы называем рефлексией. В частности, продукт, играющий роль меры, не обязан быть чем-то, что можно потрогать: иногда это лишь сложная взаимосвязь вещей, которую почти невозможно овеществить или обозначить. Тем не менее, культурная обусловленность формальных операций неустранима даже в самой абстрактной науке.

В известной мере, все объекты в области соизмеримости могут представлять друг друга, "обмениваться" друг на друга — как товары на рынке. Любой из них можно принять за единицу измерения — а все остальные выражать в этих единицах. Таких частных реализаций измерения может быть много, поскольку всякий иной объект, взятый в качестве единицы, порождает свою собственную шкалу — а все остальное оценивается с точки зрения принадлежности той или иной ступени этой шкалы, которая, таким образом, становится общей мерой для всех объектов того же уровня. Так всякая мера порождает иерархию шкал, крайне гибкую и многообразную, где любое представление измерения развертывается в некоторую иерархическую структуру, в конечном итоге связанную со строением порождающей деятельности. В качестве первого приближения, именно эти иерархические структуры можно считать предметом математики как науки. Каждая математическая теория относится к определенному классу типовых структур, разных способов организации человеческой деятельности.

В качестве одной из возможных деятельностей, сама математика устроена иерархически, что позволяет обсуждать в математике ее собственные структуры. Отсюда иллюзия, якобы, исключительной роли математики в науке. Но любая другая наука устроена так же: она изучает нечто, частью (или представителем) чего является она сама. Наука целиком стоит на обратной связи от своей предметной области — она обязательно включает ее в себя, но организует контролируемым образом. Можете представить себе физика, который не был бы физической системой? Или биолога, который не был бы организмом (или сообществом организмов)? Экономическая наука активно ввязывается в товарный обмен; психология требует интеллекта и эмоций; лингвисты общаются на разных языках; геология развивается на планете Земля. Различие только в характере рефлексии: в математике она часто (хотя и не всегда) оказывается явной и намеренной.

В таком контексте, можно представлять себе измерение как разновидность категоризации: шкала задает некоторое количество категорий (ступени шкалы), а каждый единичный акт измерения призван отнести нечто к одной их этих категорий. В повседневной жизни это одна из самых распространенных операций, и мы даже не замечаем ее культурной обусловленности, существования деятельности более высокого уровня. Категоризация — очень непростое дело. Предстоит исторически (практически) установить некий культурный шаблон (иерархию шкал) на основании простого сравнения (различения) вещей в их отношении к продукту некоторой деятельности. Нечто подобное можно наблюдать и у животных: они способны сразу оценить биологическую важность стимула и предпринять адекватные шаги — но они никогда не строят собственно шкал (за исключением некоторых иерархически организованных сообществ с подвижным распределением по уровням — прототип человеческого общества). Грубо говоря, прежде чем мы сможем отнести что-либо к некоторой категории, эта категория уже должна существовать в качестве устойчивой социальной (идеальной) связи. Как только набор категорий становится частью "решателя" — о категоризации в собственном смысле слова можно говорить лишь метафорически. Это касается и приобретенных "категорий", усваиваемых в ходе обучения или встроенных в психику и нейронные структуры: какими бы общественными ни были их истоки, такие "психические инструменты" мало отличаются от телесных органов, а недостаток гибкости ощущается как безответственность и несвобода. С точки зрения иерархического подхода это предпочтение одной иерархической структуры в ущерб развертыванию всех остальных, затрудненность обращения иерархий.

Следует подчеркнуть, что измерение (любого вида) — это не главное в человеческой деятельности, и часто люди предпочитают обходиться без него. Есть и другие оценки, столь же важные для полноты нашего опыта. Например, чтобы решить, все ли члены семьи собрались к ужину, нам вовсе не надо их пересчитывать: мы обнаруживаем чье-то отсутствие с первого взгляда. Точно так же, незачем пересчитывать пуговицы на сюртуке, чтобы выяснить, что одной не хватает. Точная форма подушки не имеет особого значения — лишь бы спалось хорошо. И нам глубоко безразлично, сколько истины в чьих-то словах, когда дело лишь в том, чтобы выразить взаимную симпатию или отвращение. Есть этносы, у которые так и не сложились общие идеи числа или формы — не от неспособности или отсталости, а просто потому, что в них, при соответствующем образе жизни, нет никакой практической пользы. Точно так же, маленькие дети безразличны к количественной стороне действительности  — пока культура не втянула их в специфические общественные отношения (что и называется взрослением). Даже в науке масса фактических данных или навыки операций первоначально копят, не озадачиваясь формальными различиями; именно так, по большому счету, и возник метод современной математики. Однако философские категории "качество", "количество" и "мера" выражают один из фундаментальнейших аспектов организации мира (в том числе и вне какой-либо человеческой деятельности) и универсально применимы: все что угодно возможно (хотя и не всегда нужно) измерить (сравнить, категоризовать, оценить) — не забывая и об остальных способах действия.

Я так долго занимаюсь всеми этими предварительными соображениями, потому что в деталях описать особенности математического измерения не составляет больших трудностей — как только мы вполне понимаем их культурную обусловленность. Всякий математик увидит формальную сторону картины практически сразу; не столь привычным к формализации придется немного повспоминать школу. Убедить в чем-то активно работающего в науке — почти безнадежное дело, поскольку многочисленные формальные навыки уже проникли в самую сердцевину его личности, стали его частью. Ну и славно, пусть себе делают то, что считают нужным, не заморачиваясь поиском оснований — что было бы не лучшим применением таланта.

Нет никаких ограничений на то, как будет устроена та или иная шкала; любая связана с каким-то способом измерения. Всякая деятельность допускает много формализаций — каждая из которых отвечает одному из возможных способов развертывания иерархии. Самые фундаментальные математические понятия можно пересматривать точно так же, как и какие-нибудь вспомогательные построения. Приведенный выше пример с абстракцией числа сразу обнаруживает многочисленные концептуальные неувязки. Например, единообразная трактовка всевозможных единичностей опирается на практически сложившиеся формы счета, а процедура измерения требует соотнесения отдельных предметов с отметками некоторой стандартной шкалы (в общих чертах, представляющей собой набор эталонов, расположенных в определенном порядке). То есть, счет предполагает перечисление. Натуральные числа как математический конструкт дают некую абстрактную шкалу, не зависящую от конкретных реализаций. Но на практике измерение опирается не (непосредственно) на эту абстракцию, а на некоторую ее реализацию, от пальцев или костей на счетах — до типов нервного возбуждения в мозгу, людей в очереди или итератора в компьютерной программе. Ни одно из таких "воплощений" не может быть идеальным. Человечеству потребовались многие столетия, чтобы выработать относительно устойчивые процедуры, и нет никакой гарантии, что это привычные операции не окажутся неуместными в каких-то экзотических условиях, требующих совсем иного подхода. Возьмите хотя бы счет на пальцах — и представьте, что разные люди имеют разное количество пальцев, а то и вовсе ни одного.

Даже если допустить, что материальная реализация шкалы (технология счета) вполне адекватна, остается проблема порядка пересчета: возможно ли расположить пересчитываемые предметы так, чтобы последовательно соотносить их с отметками шкалы — и последнюю отметку принять за искомый результат? Обычно об этом заботиться не нужно, поскольку во многих практических ситуациях итог не зависит от порядка пересчета. Но в общем случае речь идет о еще одном итераторе, извлекающем объекты из интересующего нас набора один за другим, что и позволяет нам двигаться в процессе измерения вдоль шкалы. Это далеко не тривиальная процедура: результат вполне может зависеть от порядка измерения. Например, элементы последовательности могут "склеиваться" при определенном расположении — и никак не взаимодействовать при другом. Возьмите, к примеру, последовательность букв, которые в процессе "предъявления" могут складываться в слова — или не складываться. Если, по каким-то соображениям, мы считаем слова как самостоятельные единицы, результат счета существенно зависит от порядка выборки. Еще один типичный пример — объекты с конечным временем жизни, постепенно выбывающие из исходного набора (например, по типу радиоактивного распада). Если мы начнем счет с долгоживущих элементов, короткоживущих мы просто не заметим.

Продолжая тему времени, заметим, что результат измерения зависит также от темпа перечисления как для исследуемого набора, так и для шкалы. Если выборка происходит слишком быстро, по сравнению с временем категоризации (соотнесения со шкалой), некоторые элементы не будут учтены при пересчете. В самом тяжелом случае, время категоризации зависит и от очередного элемента выборки: некоторые из них труднее обрабатывать из-за их размера, веса, подвижности или культурных зависимостей. Обратный случай: шкала время от времени может порождать пакеты "спайков", так что один и тот же элемент будет посчитан несколько раз — что в математике соответствует, например, такому примитиву как множество с повторениями (bag). "Классическая" деятельность пересчета должна, как мы видим, происходить в "адиабатическом" режиме, чтобы между двумя последовательными актами выборки оба итератора успели прийти в некоторой "нейтральное" состояние. Всякий, кто когда-либо занимался программированием (особенно для сетевых приложений), знает, что добиться этого бывает очень непросто.

Мы естественно приходим к заключению, что математическое понятие числа соотносится с очень частным способом действия, ограниченным во многих отношениях. Да, в нашей культуре такие действия встречаются повсеместно; однако в каких-то других культурах (или на других уровнях культуры) дело обстоит иначе — и там сама идея числа может оказаться неуместной. Разумеется, это не означает невозможности математики вообще — просто основана эта математика будет на принципиально других математических мерах.

Математик может возразить, что его наука не обязана заботиться о приложениях или практической реализации — что его дело просто исследовать формальные зависимости. Но математика — тоже деятельность, и ей приходится сталкиваться с теми же проблемами, что и всем остальным. Пресловутые теоремы Геделя — наглядный пример того, как некорректная арифметизация порождает иллюзию соизмеримости там, где ее вовсе нет. Есть основания полагать, что любые "диагональные" доказательства выявляют на самом деле ограниченную применимость математической теории.

Для иллюстрации, приглядимся к различию порядковых и кардинальных чисел. Как уже говорилось, счет предполагает упорядочение, когда числовая шкала используется "ординально", как порядок, наложенный на некоторую коллекцию. Если способ упорядочения нам не важен (и, в частности, дает одинаковый результат при счете), можно расценивать количество элементов как кардинальное число, характеристику коллекции в целом, как ее "объем" (или "массу"). Хотя формально такие "объемные" характеристики выражаются такими же числами, они отвечают совсем другому подходу к измерению, который не требует различения индивидуальных элементов в составе целого. Вместо того, чтобы пересчитывать кирпичи в куче, мы можем просто взвесить кучу целиком и оценить количество кирпичей косвенно, зная вес одного кирпича. В качестве альтернативы, можно, например, измерить длину кирпичного бордюра, сложенного из кирпичей из этой кучи, — и оценить количество кирпичей, зная размер одного кирпича. Понятно, что соотнести массовые меры с ординальными удается далеко не всегда: так, если речь идет о куче камней (а не стандартных кирпичей) разной массы и размера, массовые меры почти не несут информации о ее содержимом.

В физике обычно различают интенсивные (температура, давление, энтропия) и экстенсивные (масса, объем) характеристики: первые относятся ко всей системе целиком; вторые складываются из соответствующих количеств для частей системы. Очевидные аналоги интенсивных мер в математик: размерность пространства, топологический индекс, моменты статистического распределения, алгоритмическая сложность. Даже если мы разделим математический конструкт на несколько "меньших" того же типа, величины интенсивных параметров для частей нетривиальным образом соотносятся с параметрами целого. Допустим, прямоугольник разбит на несколько (непересекающихся) прямоугольников; тогда отношения длин сторон каждой из частей не имеют ничего общего с таким же отношением для исходного прямоугольника — при том, что сумма площадей частей равна площади целого. Промежуточный случай: сумма периметров частей не равна периметру исходного прямоугольника — но пропорциональна ему при некоторых способах разбиения.

Интенсивные характеристики соотносятся с идеей формы, дополняющей в математике идею числа. Для форм справедливы те же замечания о тождестве и различии. Можно в общих чертах описывать вещи как "округлые", "прямоугольные", "нерегулярные" и т. д. Мы отличаем гладкость от изрезанности, хаотичность от упорядоченности, сходство от различия, неудачу от успеха... Во всех этих случаях речь идет о том, чтобы взять несколько разных вещей, но работать с ними примерно одинаково. Это делает такие вещи практически идентичными (и допускает количественное их описание), но противопоставляет их все другим вещам, которые нельзя использовать в том же ключе.

В то время как число акцентирует количественную сторону меры, форма, главным образом, говорит о качестве. Можно представлять формы числами, но все такие описания не передают целостности формы — они лишь поясняют, почему наше восприятие различает какие-то формы вещей. Во многих практически важных случаях (при относительной культурной стабильности) можно догадаться о форме по ее численным параметрам. Но это никоим образом не сводит форму к одной из возможных параметризаций; та же форма может возникнуть в совершенно других условиях, когда численные оценки просто невозможны. Обратно, та же комбинация чисел может относиться к разным формам; можно "визуализировать" одну форму при помощи другой — но это не делает их эквивалентными во всех отношениях. Иначе говоря, форма есть сущность более высокого уровня по отношению к любой параметризации, и определяется она не численными оценками, а отношением к другим формам. С другой стороны, параметризованная форма становится формой другого уровня, абстракцией, типом — поскольку из всех черт выбраны лишь некоторые; это, так сказать, "форма формы". Точно так же мы представляем точки пространства координатами — и переходим к абстрактным точкам абстрактного пространства.

Диапазон возможных качеств, конечно же, формами не исчерпывается. Например, мы чувствуем нечто общее у двух яблок — что отличает их, скажем, от ежей. Далее, есть разные сорта яблок, и даже яблоки одного сорта подразделяются на категории. Всякая индивидуальная вещь так или иначе отличается от любой другой вещи — поэтому мы и говорим об индивидуальности. Но в определенной мере ее количественный аспект будет относится к общности индивидов, превращая их в то, что можно считать. Можно было рассматривать форму как формальное ("количественное") качество, абстрагированное от конкретных мер, — так же как число становится абстракцией количества. В этом формальном смысле яблоки и ежи вполне объединяются в категорию "приблизительно круглых" предметов, и можно их пересчитывать в одном ряду. Именно в таких ситуациях математика оказывается на высоте.

Формы и числа можно сравнить с физическим пространством и временем. Так же, как в физике, составляющие формы легко упорядочиваются (и тем самым "пересчитываются") в нечто вроде траектории (порядок "ощупывания"), и наоборот, класс траекторий представляет определенную протяженность или длительность (число). Та же взаимность: необходимость различения — и его относительный характер. И так же, как время связано с цикличностью воспроизводства мира (или какой-то его части), возможность счета проистекает из повторяемости операций в человеческой деятельности. В каком-то смысле, математику можно назвать моделью культурного пространства-времени как уровня пространства-времени вообще.

Уподобляя форму интенсивным характеристикам физических систем, мы приходим к весьма общей идее, приложимой к самым абстрактным сущностям. Так, математические теории (и их элементы) можно сопоставить с некоторой мерой истинности, которая, очевидно, есть интенсивная характеристика — так что истинность фрагментов теории не гарантирует ее истинности в целом. Здесь, как и физике, мера в приложении к целому имеет иной смысл, нежели та же мера, приложенная к его частям; так развертывается иерархия мер. В частности такова иерархия истинности, представляющая форму математической теории. Разумеется, та же теория может быть формально представлена разными интенсивными мерами (вроде разрешимости, продуктивности, эффективности, предсказательной способности и т. д.). С разных позиций теория выглядит по-разному. Ее "частные" формы не будут совершенно независимыми. В каких-то условиях интенсивные характеристики переходят в экстенсивные, и наоборот. Так, масса составной частицы в нерелятивистской классической физике складывается из масс компонент, тогда как масса атомного ядра не сводится к массам отдельных нуклонов. Сложная система в каком-то контексте ведет себя как целое — а в другом лишь меняет форму. Кроме того, последовательность изменений может существенно зависеть от истории системы. Но точно так же и математическая теория может соотносить интенсивные меры друг с другом, эффективно делая их "менее интенсивными". В контексте некоторой теории, два утверждения (истинные или ложные) соединяются (логическими связками) в новое суждение, так что истинность составного суждения выводится из истинности компонент. Наборы доступных связок определяют форму теории (и порождают эквивалентные формулировки); типичная задача математика — найти диапазон конструктов, сохраняющий ту же общую структуру, которая, впрочем, не задана изначально, а возникает процессе построения теории — точно так же, как и в других науках.