Фундаментальная относительность

На протяжении многих веков мощь математики связывали с ее дедуктивной структурой, позволяющей предположить наличие разнообразнейших свойств математического объекта на основании небольшого числа фундаментальных утверждений. Укоренившаяся привычка будит у некоторых надежду, что когда-нибудь математика в целом станет стройной дедуктивной системой, основанной на нескольких абсолютно бесспорных истинах. Поиск универсальных оснований математики не прекращается по сей день, один кандидат появляется за другим — каждый со своими прелестями и недостатками, — но почуять близость удачи пока так и не удалось. К тому же, разные математические школы не всегда уживаются друг с другом, свести одну к другой никак не получается: несмотря на согласие по большинству практически важных вопросов, каждая такая наука предлагает и нечто особенное, что в других математиках просто немыслимо. То есть, вместо всеобъемлющей формальной конструкции, мы имеем лишь набор возможностей, и каждый вариант по-своему последователен и строг. Когда-то считавшаяся истиной в последней инстанции, математика все больше растворяется в многочисленных альтернативах, и ни одна математическая истина уже не абсолютна, так что математика перестает быть всеобщим арбитром, теряет право решающего слова — и превращается в обычную науку, среди других наук. Да, это плохая новость для тех, кто ищет в математике убежище, уголок душевного комфорта среди неустроенного мира. И все же избавление от ослепительной исключительности, вне всяких сомнений, благотворно скажется на развитии математического знания.

В частности, мы можем заметить, что парадигмы других наук быстро пропитывают мысль математика, открывают ей новые направления. По большому счету, это главный источник математического развития, поскольку любые внутренние интересы не идут дальше отдельных уточнений и отложенных доказательств, тогда как появление действительно ценного конструкта связано с насущными культурными потребностями (как материального свойства, так и в сфере рефлексии). Задача работающего математика — внимательно присматриваться к окружающему миру, искать в разнообразии человеческих деятельностей нечто такое, что их формально похожими, — а значит, допускает представление математическими формами. По большей части оказывается возможным скомпоновать такие формализации из готовых компонент, пылящихся до поры до времени в запасниках математической науки; но иногда удается набрести и на свежую идею — а мотив великого открытия отнюдь не маловажен, на фоне личного любопытства.

Когда заходит речь об основаниях науки, мы переходим в область научного самосознания, и здесь крайне важно определить свое место в кругу других наук. Смотреть на себя можно только чужими глазами. От соблазнительных метафор мы постепенно переходим к общности целей и методов, а потом и к единой концептуальной платформе.

На самом верхнем уровне придется объяснять, зачем вообще требуется склеивать разные парадигмы — и понять, когда они сами тянутся одна к другой. Именно здесь естественно вступает в игру идея относительности. Возможные платформы синтеза становятся прямыми аналогами физических систем отсчета, а стандартные доказательства эквивалентности играют роль преобразований координат. Как и в физике, существуют динамически разные семейства систем отсчета, которые нельзя свести друг к другу без дополнительных предположений (инерциальных сил) — однако внутри каждого семейства все существенные черты науки остаются неизменными в любой из возможных формулировок. Но, как и в физике, мы стоим перед проблемой объективности знания, ибо не всегда легко отличить действительные проблемы от фиктивных вопросов, возникающих в недостаточно корректной модели; здесь нужно искать более широкий контекст, в котором естественно возникает иерархий таких различений, со всеми ее обращениями и возможностями роста. Каждая отдельная иерархическая структура может стать математической теорией — но нет никакой всеобщей математики, справедливой в любых концептуальных рамках.

Впечатляющая эффективность науки во многом связана со способностью абстракции, а значит, недостаточной универсальностью. Однако не бывает абстракций без того, от чего мы абстрагируемся, и потому любая наука (включая математику) должна рассматривать целостный предмет то с одной стороны, то с другой, не стремясь к исчерпывающему описанию: даже если собрать вместе все эти частные науки, полученная картина все равно останется абстрактной и приблизительной, поскольку подлинная конкретность достижима лишь вне науки как таковой, в практике. Вот и разгадка концептуальной относительности. Нам вовсе не нужно разбираться в деталях устройства каждой отдельной науки; все, что нам нужно, — это схемы деятельности (предписания, рецепты), применимые к ограниченному набору типовых ситуаций. Ясно, что такие схемы никак не могут иметь абсолютной значимости, они существенно зависят от организации деятельности. Пока люди делают нечто похоже — они пользуются общим для всех набором формальных инструментов, которые в каждом конкретном случае надо по-своему приспосабливать к делу, и каждый держит под рукой то, что ему по жизни требуется чаще. Системы отсчета (концептуальные платформы) лишь представляют объективное строение деятельности в коллективном сознании.

Универсальность разума как его определяющий атрибут означает, в частности, что любая сторона деятельности может превратиться в обособленную деятельность — и обратно, сколь угодно разные деятельности могут стать сторонами единой деятельности. Так научная рефлексия воплощается в институализированной науке, а одна наука становится парадигмой для другой. Математика может развиваться сколь угодно рефлексивно — это не дает нам повода искать ее исток в самой математике, всего лишь излагая основы науки на языке той же науки. Математика иерархична, она не сводится к тривиальной плоской структуре. Каждая математическая теория есть абстрактная модель соответствующего объекта — а теория такой теории принадлежит уже следующему уровню иерархии, у нее свой, особый предмет. В пределах фиксированной иерархической структуры мы можем обнаружить, что многие теории подобны друг другу. Однако изоморфизм не означает тождества — скорее, это относительная тождественность в составе целостности более высокого уровня, как ее особый аспект. И это опять навевает мысль о связанных инерционными преобразованиями (изоморфизмами) системах отсчета в физике, которые в силу этой связи считаются "физически эквивалентными". Неизбежен логический круг: с одной стороны, мы указываем на физическую эквивалентность как основу инерциальности, а с другой, понятие инерциального движения определено лишь в отношении некоторого класса физически эквивалентных систем. Разорвать этот круг возможно лишь с точки зрения более высокого уровня (в практическом контексте). Аналогично, в поисках оснований математики мы лишь устанавливаем некий культурный контекст, в пределах которого допустимо формальное преобразование одной теории в другую при сохранении парадигм более высшего уровня. Но эта объединяющая парадигма не с потолка, она связана с практически определенным способом деятельности; изменение парадигм предполагает значительные культурные сдвиги — прежде всего связанные с развитием способа материального производства.