Гуманитарная математика

Большая часть обывателей (как математически подкованных, так и далеких от формальной зауми) согласится, что математика — это наука. Хотя кое-кто предпочел бы уверовать, что это не просто наука, а нечто совсем особенное — то, что лежит в основании научности как таковой и является необходимой предпосылкой всякого познания. Наконец, есть и такие, кто выставляет математические способности как врожденный дар — высшее знание, мистическим образом встроенное в человекоживотных в качестве изначальной печати сознания.

Конечно же, такие представления возникают не на пустом месте. На первый взгляд, математики ведут себя подобно другим ученым — по крайней мере, если судить по манере выражения. С другой стороны, не так-то просто сообразить, что же конкретно изучают они в своих формальных теориях, приспособить которые к делу удается лишь спустя много лет (а то и столетий). Для внешнего наблюдателя, математика — нечто вроде копошащегося сгустка живой протоплазмы, из которого иногда вытягиваются отростки то в одном направлении, то в другом, вплоть до отрыва от первичной материи и оформления в какую-нибудь обычную науку. Если по-простому — наука должна изучать нечто объективное, что сидит вне науки и служит источником ее фактов и ее областью применения. Этот принцип относительной объективности учитывает всю иерархию непрямых связей человека с природой, когда науки более высокого уровня надстраиваются над каким-то классом других наук, которые, в свою очередь, могут опираться на предшествующие обобщения, а их предметной областью становятся сколь угодно формальные абстракции. Как и во всякой иерархии, различие "верха" и "низа" относительно, и может запросто оказаться, что какие-то две науки служат эмпирической основой друг друга.

В математике нас постоянно преследует чувство произвольности, внутренней пустоты и бессодержательности, — поскольку всегда возможно выстроить формально правильную теорию на базе случайного набора аксиом, одинаково приемлемых, — и нет ни малейшего повода предпочесть одну другой.

В древности было не так. Математическое знание вытекало из непосредственного опыта практической деятельности, обслуживало повседневные потребности людей. Со временем расслоение и разделение труда отделяет навыки и умения от их живого применения — но вплоть до конца XIX века оставалась надежда на существование "естественного" основания, из которого выводятся все остальные математических абстракции. Альтернативные геометрии, алгебраическая революция и компьютерная наука развеяли эти иллюзии — и оставили нас лицом к лицу со странной возможностью изобретать фантастические миры, в которых никогда не поселится ни одной живой души.

Но изменило ли это на самом деле характер математического знания? Вопреки любым формалистическим играм, у нас остаются общие идеи числа и внешнего облика, а любые альтернативные понятия математической строгости очевидным образом продолжают всю ту же линию поиска причин и следствий, вдохновлявшего технологический прогресс от первобытной магии до современных роботизированных производств. Если мы сделаем так и так — мы получим именно то, что ожидаем получить, — если только внешние обстоятельства (включая наши глупые ошибки) не изменят слишком резко производственную среду.

Так мы опять приходим к теме научного статуса математики. Предметную область этой странной науки можно попытаться обрисовать, используя подсказки далекого прошлого, когда происхождение математики из опыта было еще вполне очевидно.

Человеческая деятельность всегда направлена на изменение окружающего мира. Каждый особый способ такого изменения подталкивает к развитию соответствующей науки, предметной областью которой становится объективная организация порождающей деятельности. Иерархия наук отражает иерархию типовых деятельностей. Но есть и фундаментальные свойства, связанные с устройством всякой деятельности вообще, в которой разумный субъект выделяет часть мира в качестве объекта — и сознательно преобразует это в требуемый продукт. В итоге, каждый продукт можно рассматривать двояким образом: с одной стороны, это еще один объект (материальный продукт), а с другой — это воплощение способа производства (идеальный продукт). Это объективное внутреннее "расщепление" приводит (в определенных общественных условиях) к разделению науки на две взаимно дополнительные области: материальные аспекты деятельности относят к ведению естественнонаучных дисциплин — тогда как знание о способах действия накапливают гуманитарные науки. Последние называют также "общественными" — подчеркивая то обстоятельство, что никакая сознательная деятельность в одиночку, наедине с собой, попросту невозможна, и сама идея сознания предполагает совместность, общение. Таким образом, субъект всякой деятельности (и субъект вообще) иерархичен: индивидуализированные формы субъектности взаимодействуют в ней со всевозможными уровнями коллективного субъекта, от пары любовников до человечества в целом.

Вопрос: говорит математика что-либо о материальном производстве? Вряд ли. Лишь некоторые чудаки всерьез считают математические объекты самостоятельными вещами, способными существовать сами по себе (соответствующая философская позиция называется объективным идеализмом и обычно связывается с именем Платона). Интуиция говорит, что математическое знание скорее указывает на общие свойства вещей — однако для нас в вещах существенно лишь то, как мы включаем их в сознательную деятельность. Следовательно, математика призвана заниматься какими-то сторонами человеческой деятельности — и потому с полным правом может быть отнесены к классу гуманитарных наук. Иначе говоря, математика позволяет нам что-то узнать о самих себе — и математики тут ничем не отличаются от гуманитариев. Это прекрасно согласуется с кажущейся произвольностью математических теорий: общественные науки смотрят на мир с позиций субъекта, что предполагает, в частности, свободу выбора. В обыденной жизни нам постоянно приходится принимать решения, выбирать тот или иной способ действия. Богатство возможностей напрямую связано с богатством и гибкостью математики. С точки зрения философского материализма, полного произвола быть не может, поскольку набор имеющихся вариантов зависит от объективной организации нашей деятельности, он в природе вещей. Отсюда бросающаяся в глаза жесткость математического метода — по сравнению с произвольностью предпосылок.

Можно предположить, что значительные сдвиги в строении культуры породят новый стиль математического мышления. Впрочем, пока (то есть, на памяти цивилизации) человечество не испытывало революций такого масштаба — и нам вполне комфортно в рамках существующих парадигм. Однако можно попытаться усмотреть в исторически известных методологических переворотах знаки того, что еще может произойти. В любом случае, не бывает абсолютно завершенных наук. Хотя некоторые науки (включая математические теории) уже, вроде бы, не требуют творческого развития, потеря интереса к ним — сугубо локальное явление, и всегда есть шанс наткнуться на нечто такое, что раньше не привлекало внимания, что мы просмотрели за прочими делами — и чем опрометчиво пренебрегли.

В периоды относительной стабильности естественные науки вырабатывают особую внутреннюю структуру, которая в конце концов уводит их от природы и внешне уподобляет гуманитарному знанию. Типичная статья по математике (или физике) напичкана метафорами и аллюзиями, слишком вольным использованием обычного языка (без которого не обойтись даже в самых формальных рассуждениях); на каждом шагу упоминаются какие-то имена (которые, вроде бы, призваны указать на связь с ранее введенными понятиями — но обычно так и остаются пустым звуком). В таких "технических" работах невозможно соблюсти концептуальную и теоретическую последовательность, поскольку изложение материала опирается на необъятное множество явных и неявных предположений и требует предварительного знакомства с неподъемными пластами специальных сведений. Профессионализм тем самым почти полностью сводится к владению узко-цеховым жаргоном, логическая прозрачность принесена в жертву эрудиции. В итоге, профессионалы больше стараются произвести впечатление на публику, чем просветить ее.

Для новичка современная наука — нечто совершенно неудобоваримое, поскольку одной жизни никак не хватит, чтобы ознакомиться со всеми источниками, не говоря уже о критической их оценке. Хаотичность библиографии и неизбежные перекрестные ссылки делают проверку логической целостности и фактуальной обоснованности специального текста практически неосуществимой. Правильность рассуждения — уже не подлежит обоснованию; это предмет общепринятых соглашений, предрассудков или академической моды. Оказывается, что наука развивается не от истины к истине, а от одного уровня веры к другому. Для изучения науки доверчивость и хорошая память куда важнее любознательности и понятливости.

В результате общее строение математического знания остается чистой условностью, наподобие того, что мы наблюдаем в прикладных дисциплинах вроде юриспруденции или бухгалтерского учета. Отсутствие естественной организации не позволяет расставить точки опоры так, чтобы для каждой проблемы легко было подобрать подходящий формализм. Это словарь без алфавита, упорядоченный по случайным признакам, вроде ключей и количества черт в китайских и японских словарях иероглифов (или хеширования в компьютерах). В конце концов количество используемых символов превышает любые разумные пределы — и целое разваливается на слабо связанны меж собой традиционные отрасли.

Впрочем, нет худа без добра. Пока математика остается хаотической массой, она просто не в состоянии подмять под себя другие науки. Всегда остается место для метафорических манипуляций и формальные выкладки теряют магический ореол, не дают полностью положиться на технический результат и заставляют исследователей приглядываться к природе, не увязнуть в бессмысленном комбинировании собственных фантазий. Поскольку не всегда удается найти приемлемые математические модели, мы вынуждены организовывать знание в соответствии со строением предметной области, вместо того, чтобы подгонять наблюдения под теоретический произвол. Так, глядишь, и отыщется нечто вполне оригинальное, для чего придется придумывать совершенно другую математику.

Профессиональные ученые (например, физики) обычно работают с ограниченным набором математических инструментов, эдаким личным хранилищем типовых приемов и компонент для строительства новых теоретических моделей. Когда жизнь требует радикального изменения представлений, типовых решений не хватает, и математизация начинается с нуля; даже если математики уже изобрели все необходимое, найти что-то конкретное в математических завалах совершенно немыслимо (если только не наткнуться случайно). В случае успеха — математики заимствуют общие черты научного рукоделия, приспосабливают к ним ранее изученные конструкты, — и вот уже готова новая теория ad hoc, которую можно смело присовокупить к уже имеющимся: куча формалистического мусора растет и пухнет. Элементы математического метода, которые в конце концов проникают в специальные науки, — это не что иное как их собственные достижения, переформулированные и "облагороженные", пропитанные духом "строгости". Это, опять же, напоминает о традициях гуманитарных наук: прежде чем получить официальный статус, новое учение должно заручиться поддержкой авторитетов, застолбить свою нишу и приобрести формальное право состязаться с другими; впоследствии такое "сертифицированное" знание может при случае оказывать протекцию всяческим молокососам. Претензии математики на исключительное место в науке в точности воспроизводят попытки США утвердить себя в роли единственной сверхдержавы на мировой политико-экономической арене. Внутренние разногласия американского общества позволяют другим нациям в какой-то мере сохранять независимость и лавировать в навязанных извне рамках в поисках собственного пути — а любые находки тут же узурпируются диктатором и становятся частью системы. Настанет время, когда наука забудет о междисциплинарных границах и лестнице авторитетов, когда не будет научных званий и степеней. В по-новому развернутой иерархии уже незачем будет отличать естественные науки от "неестественных" или "сверхъестественных". Это логическое следствие смены мирового порядка, уничтожающей рыночную экономику, классовое неравенство, любые виды конкуренции, — на всех уровнях человеческой культуры и в новых формах самодвижения мира.