Отрицательные множества

Фундаментальные математические объекты — это всегда абстракция широко распространенных способов деятельности. Целые числа восходят к процедуре многократного пересчета, когда результат не зависит от порядка перебора. Напротив, отрицательные числа выражают идею невозможности сосчитать, недостаточности, долга (а правило знаков при умножении напрямую связано с обычаем погашения и взаимозачета долгов). Потом, когда общая идея сформировалась, можно строить формальные модели — возникает теория чисел, с ее нетривиальными теоремами.

Идея множества — это абстракция включения объекта в деятельность. Когда мы приступаем к работе, мы первым делом смотрим, что для этого может пригодиться, и что может помешать. Все, что попадается нам на глаза, мы оцениваем с этой точки зрения. Речь идет именно о качественной оценке: если годится — будем иметь в виду; если полезность не очевидна — забываем и больше не рассматриваем. Формально говорят о принадлежности элемента множеству, подразумевая возможность конструктивно это проверить. Множество — это то, что ему принадлежит, а все остальное к нему просто не относится. Другими словами, хорошо определено лишь свойство принадлежности, тогда как непринадлежность есть нечто совершенно неопределенное (просто потому, что мы не можем знать все, что имеется в этом мире, и что еще в нем появится). Однако если деятельность представляет собой часть (этап) другой деятельности, охватывающей более широкий круг объектов, свойство непринадлежности можно понимать в узком смысле, как принадлежность дополнению множества. Это уже вполне проверяемый факт.

Вообще говоря, возможны сколь угодно сложные иерархические структуры — и это отражает разнообразие человеческой деятельности. Непринадлежность по-разному определена в разных контекстах. В каждом конкретном случае она соотносится с принадлежностью чему-то другому. Математики предпочитают ограничиваться лишь чем-то конструктивно определимым ("универсумом") и не обсуждать то, что лежит вне этой конструкции. Это вполне отвечает тому естественному обстоятельству, что мы всегда работаем с тем, что есть, что наличествует в нашем окружении и (хотя бы в принципе) доступно.

Однако по жизни, помимо объектов, пригодных для текущей деятельности, мы часто сталкиваемся с объектами, которые с ней несовместимы, либо практически недоступны. С тем, что есть — но не может быть использовано ("запрещено"). Такие объекты необходимо связаны с деятельностью, они тоже принадлежат ей — но "отрицательным" образом. Это не элементы, а дырки, указания на то, что следует исключить из рассмотрения.

Термин заимствован из физики, где электроны и дырки успешно сосуществуют в теории атома, в физике полупроводников и во многих других практически важных областях. Некоторым образом, позитрон есть просто дырка в вакууме, возникшая при вылете электрона (и потому электроны с позитронами рождаются только парами). Оказывается, что представление о дырках ведет к (практически) интересной математике множеств.

Поскольку мы уже знаем, что дополнение играет в теории множеств роль вычитания, можно формально определить отрицательное множество как дополнение обычного множества до пустого множества, как вычитание из "нуля". Существование такого дополнения просто постулируется. Мы записываем это как . Знак минус взят в скобки, чтобы подчеркнуть его операторную сущность. По определению, каждый элемент отрицательного множества есть дырка на месте соответствующего (в объектном смысле) элемента исходного множества. Очевидно, . То есть, будучи одновременно включенными в деятельность, элемент и дырка "аннигилируют", и у нас нет ни принадлежности, ни запрета. Симметричным образом, можно положить . Так мы фиксируем логику теории; вообще говоря, для каких-то деятельностей это может быть не так.

Однако, в отличие от чисел, множества не упорядочены линейно, и потому, наряду с положительными и отрицательными множествами, могут существовать произвольные наборы элементов и дырок, которые мы продолжаем собирательно именовать множествами (или классами, если кому-то больше это нравится). Понятно, что в общем случае множество распадается на "положительную" и "отрицательную" компоненты:

,

где A_p и A_n — обычные множества (без дырок). В частности, они могут быть пусты. При объединении множеств соответствующие элементы и дырки аннигилируют:

,

где

,

Нетривиальная математика возникает там, где мы переходим от сложения к умножению — от объединения к пересечению множеств. Что вычислять такие выражения формально, мы вводим обычное правило знаков: . Двойное отрицание уже упоминалось; по смыслу: отсутствие отсутствия есть присутствие. Точно так же осмысленны правила для смешанных знаков: что присутствие отсутствия, что отсутствие присутствия мы понимаем как отсутствие. Опять же, в деятельности это не всегда так — но во многих практически важных ситуациях оправдывается. Тогда, очевидно,

Частный случай — "антимножество" произвольного множества:

С количественной стороны обычные множества характеризуются количеством элементов, приписывая каждому элементу вклад +1. Отрицательные множества, очевидно, характеризуются количеством дырок — но каждая дырка дает вклад –1, так что мощность отрицательного множества отрицательна. Для произвольного множества надо суммировать вклады элементов и дырок, и возможны разные комбинации.

В приложениях дырки могут быть одной из возможных формализации идеи потребности. И это практически важно для таких наук как психология или экономика. С другой стороны, памятуя о том, что в физике аннигиляция сопровождается возникновением других частиц, можно развить весьма нетривиальные теории деятельности. Заметим, что в обычной теории множеств понятие элемента остается пока неопределенным, и чем это отличается от множества — большой вопрос. Традиционно считают, что ничем. И тем самым ограничивают себя, сводят все к очень узкому диапазону возможных теорий. Но можно видеть, что любой объект как элемент множества (класса) есть, по сути дела, класс всех множеств, которым он принадлежит; напротив, в качестве дырки объект есть класс множеств, которым он не принадлежит.

Любой математик сможет указать алгебраические структуры, которым это изоморфно, и делать далеко идущие выводы. Нас интересует не формальная сторона, а интуитивно ясное представление о качественно определенном математическом объекте. Один математический объект не сводится к другому, даже если они в чем-то похожи. Математическую логику можно выводить из теории множеств или наоборот — от этого они не потеряют своеобразия. Вещественные числа можно моделировать сходящимися последовательностями — но они не перестают быть особым объектом. Даже если мы обзовем их элементами поля — это лишь моделирование реального объекта алгебраической структурой, одна сторона дела. Потому что вещественные числа — не из математики, а из практики. Так же как и натуральные числа, и комплексные числа, и геометрические формы, и множества.

И вот, теперь у нас есть отрицательные множества. Идя дальше по этому пути, можно построить и комплексные множества, и пространства любой размерности... Но об этом как-нибудь в другой раз.

декабрь 1984