Об ориентированных кривых

Вероятно, в детстве все играли с лентой Мебиуса. Вещица действительно забавная — и стоит за ней математическая теория не совсем формального свойства. Бутылка Клейна попроще: это всего лишь двумерная поверхность в четырех измерениях, совершенно гладкая и беспроблемная. А тут — поверхность с краем. Определить край многообразия в его в собственных терминах совершенно невозможно, надо выходить вовне, изучать вместе с чем-то еще — и многое зависит от выбора объемлющего пространства и способа вложения. По отношению к одному может получиться совсем не то, что вместе с другим. Поэтому рассуждения о пространствах с особыми точками выглядят не очень убедительно: остается ощущение подгонки под заданные параметры, теории ad hoc. Что, впрочем, не мешает науке оставаться занимательной и полезной.

Можно ли избавиться от разрывов и перейти к чему-то более удобному? Традиционно топологи делают это при помощи склейки краев — но у ленты Мебиуса только один край, и не очень понятно, что к чему клеить. Еще один стандартный прием — стягивание. Например, можно стянуть край в (выколотую) точку; такая конструкция остается сингулярной — но в каком-то смысле более проста.

Но есть и другой вариант. Заметим, что ширина ленты Мебиуса не влияет на ее топологические свойства. Вот и давайте сделаем ленту бесконечно узкой — превратим ее в замкнутую кривую. В итоге получится (одномерное) многообразие без края — и внешние особенности станут его внутренним строением. Ленту Мебиуса мы получаем склейкой концов обычной плоской ленты, с перекручиванием на пол-оборота. Остается выяснить, как перекрутить (пространственную) кривую перед замыканием концов.

Чисто визуально, каждой точке незамкнутой кривой сопоставляется трехмерный вектор ориентации, ортогональный направлению вдоль кривой; при переходе от одной точки к другой ориентация, вообще говоря, поворачивается в пространстве. Если склеить концы кривой так, чтобы ориентация их совпадала — получим обычную пространственную кривую, которую можно проецировать на плоскость так, что внутренняя и внешняя области оказываются отделены друг от друга, и можно говорить о внешней и внутренней нормали. Если же при склейке ориентация меняет знак — возникает аналог ленты Мебиуса; в проекции на плоскость, при движении вдоль кривой, внешняя нормаль после полного оборота скачком становится внутренней — причем это поведение не зависит от того, с какой точки мы начнем. Кажущаяся сингулярность никак не связана с гладкостью многообразия — это артефакт, следствие нелинейности операций проецирования и нормализации векторов.

Формально, в каждой точке пространственной кривой возникает локальная система ориентаций: одно из измерений задает направление вдоль кривой, другое — поперечное направление (для ленты — это движение от одного края к другому), а их векторное произведение определяет положение трехмерной нормали. Эта система ориентаций порождает внутреннее пространство каждой точки, которое следует отличать от внешних, присоединенных пространств (например, с образующими вдоль скорости и радиального ускорения); внешние характеристики кривой (кривизна, кручение и т. д.), вообще говоря, никак не соотносятся с внутренними (положение системы ориентаций).

При смещении вдоль замкнутой кривой менять знак может не только нормаль, но и направление вдоль кривой. В трехмерном представлении это выглядит как сингулярность, касп, попятное движение. Однако при вложении кривой в четырехмерное пространство возможно сохранить гладкость — и объяснить видимые разрывы выбором проекции. Аналогии из жизни хорошо известны. Например, математически гладкое движение маятника визуально выглядит как попятное движение при максимальном отклонении; мы знаем, что движение летящего вдалеке самолета может в проекции на плоскость наблюдения выстраиваться в причудливые кривые, способные навести кого-то на мысль об НЛО. Многие нелинейные эффекты и сингулярности в физике можно объяснить присутствием скрытых измерений, сложностью динамики, — вплоть до того, что наличие светового барьера (невозможность двигаться быстрее света) или сингулярности Шварцшильда могло бы указывать на многомерность физического пространства, где на самом деле допустимы любые движения — но трехмерная проекция ставит искусственные границы.

Различие внешнего и внутреннего пространства в какой-то мере аналогично различию геометрии и физических полей. Внутренняя ориентация не зависит от преобразования внешних координат (включая зеркальное отражение) — это формальное выражение независимости физической системы от наблюдателя.

Движение вдоль замкнутой кривой и поворот нормали в плоскости, перпендикулярной продольному направлению, можно описывать двумя угловыми параметрами: фаза и ориентация. Если при изменении фазы на 2π ориентация меняется на 2πk, кривая соответствует простой ленте (перекрученной целое число раз); если ориентация меняется на 2π(k + 1/2), это аналог ленты Мебиуса (число перекручиваний полуцелое). В последнем варианте кривая, по сути дела, расщепляется на два слоя ("листа"), которые последовательно пробегает каждый поворот фазы на 4π. Можно нормировать этот удлиненный цикл на 2π и превратить кривую Мебиуса в обычную кривую. Легко видеть, что это соответствует операции разреза ленты Мебиуса в продольном направлении (в результате чего получается обычная перекрученная лента). Вообще говоря, динамика изменения ориентации на первой и второй половинах удлиненного цикла может быть разной; при отсутствии связей это различие несущественно — сводится к переопределению параметра "времени".

В общем случае, на одном витке вдоль кривой ориентация меняется на 2πq, где q — произвольное вещественное число; для рациональных q количество слоев будет конечным, а для иррациональных — кривая расслаивается в тороидальную поверхность. Если динамика поворота ориентации зависит от фазы, спектр (плотность заполнения поверхности витками кривой) может быть нетривиальным.

Изменение ориентации вдоль замкнутой кривой может быть проиллюстрировано физической моделью, когда в каждой точке мы обнаруживаем перпендикулярный направлению движения диполь; поляризация текущей точки влияет на поляризацию следующей. Конечное число слоев отвечает стоячей волне, а незамкнутость — бегущей волне вдоль кривой. Здесь возможны нетривиальные модельные интерпретации (например, магнитный монополь как кривая типа Мебиуса) и вполне практические приложения.

Ориентированные кривые — это иерархические структуры, в которых каждая точка внешнего пространства развертывается в некоторое внутреннее пространство. Помимо этого движение во внешнем пространстве порождает внешнее расслоение: конфигурационное пространство превращается в многообразие. Когда мы пытаемся расположить такую кривую в плоскости, речь уже не просто о соответствии точек базы точкам плоской кривой, а о проекции внутренних и внешних расслоений. В одних случаях это возможно (например, путем разбиения плоскости на несколько секторов, в каждом из которых размещается один слой) — в других приходится чем-то жертвовать. Аналогичная ситуация, когда речь уже не о кривых, а о более сложных многообразиях (в частности, поверхностях или телах).

Уровни иерархии существенно зависят друг от друга. Например, математическая иллюстрация: представим ориентированную кривую узким эллипсом на плоскости, оси которого поворачиваются при смещении вдоль кривой; если в конце эллипс принимает исходное положение — мы имеем дело с простой кривой.

Ориентированная кривая лишь по видимости одномерна. В принципе, в каждой ее точке возможно развертывание любых иерархических структур, а переход от одной точки к другой означает свертывание текущей структуры и развертывание другой (обращение иерархии). В частности, размерность внутреннего пространства может меняться — при вложении в ту же внешнюю геометрию.

январь 1985