Предметная теория множеств

Традиционная теория множеств ничего не говорит об их элементах. Как правило предполагается, что элементами множества могут быть только другие множества, а множество в качестве элемента ничем не отличается от собственно множества. Такой подход страдает излишней общностью, а неопределенность базовых понятий приводит к парадоксам. Для их преодоления приходится отказываться от изначальной всеобщности, различать множества и классы. Остается сделать еще один шаг: признать, что элемент и множество — не одно и то же. Одно вместо другого нельзя подставлять безоговорочно, и смешение объектов разного уровня в рамках одного рассуждения (формулы) — логическая ошибка.

На практике любая наука применима лишь в пределах своей предметной области. Абстрактный формализм лишь следует организации предмета. Иначе теория оказывается просто бессмысленной — и никому не нужна. Прикладные науки не нуждаются в чрезмерной строгости: им нужнее практические рецепты на каждый день. Разумеется, приложения бывают разные, и некоторые из них могут показаться очень абстрактными; это не меняет сути дела: мы изучаем вполне определенный предмет.

Можно явным образом положить в основу теории некоторую предметную область. Для математики не важно, какую именно: главное, что она есть, и работать мы можем только с реально доступными объектами. Для теории множеств, это некоторый универсум U, базовый уровень теории. На следующем уровне появляются собственно множества — наборы элементов из универсума U. В отличие от традиционного подхода, предметные множества не могут непосредственно принадлежать универсуму: это объекты иной природы. Одноэлементное множество {x} — не то же самое, что элемент x. Отношение принадлежности a ∈ A или непринадлежности a ∉ A связывает два уровня иерархии. Мы можем обычным образом записывать небольшие множества, перечисляя их элементы в фигурных скобках: {a, b, c, ...}. При этом все элементы принадлежат универсуму и не могут быть множествами. На таких условиях нет проблем с формированием множеств по общему признаку: если элементы обладают некоторым предметным свойством φ (в соответствии с природой предмета и логикой теории), они могут рассматриваться вместе как принадлежащие одному множеству. Запись {x | φ(x)} допустима для любых предметных свойств; более того, всякое множество определяет некоторое предметное свойство, общее для всех его элементов. Когда элементы четко отличаются от множеств, рефлексивные условия, вроде x ∈ x, просто невозможны.

Вообще говоря, не все комбинации объектов из универсума U представляют допустимые множества. Для разных предметных областей возможны специфические ограничения. Если на универсум не наложено никаких связей, каждому единичному объекту x соответствует одноэлементное множество {x}. Для конечного универсума U можно было бы говорить о множестве, содержащем все вообще объекты x из U; однако такого множества может и не быть. Например, когда объекты не постоянно присутствуют в U, — или какие-то из них не могут принадлежать одному множеству (обладают несовместимыми свойствами). Мы предполагаем также, что всякое множество содержит хотя бы один элемент; обычное представление о пустом множестве ∅ = {} в предметной теории возможно лишь метафорически, в качестве сокращения для фразы "не существует множества, такого, что..." Множество, по определению, есть то, у чего имеются элементы. Когда элементов нет — это уже не множество, а нечто иной природы, что надо изучать отдельно.

Если одно множество равно другому (A = B) — это просто одно и то же, по-разному обозначенное. Разные способы построения могут приводить к одному набору элементов. Равенство множеств — это предметное равенство, одинаковость свойств.

Одно множество может быть (собственным) подмножеством другого: A ⊂ B. Мы говорим о сужении множества B, выделении части A. Заметим, что речь всегда идет о конкретных объектах из универсума, которые присутствуют в обоих множествах, либо только в одним из них. Независимо от количества элементов (мощности), множество B будет шире множества A, если в B есть элементы, отсутствующие в A.

На уровне множеств можно обычным образом определить операции объединения A ∪ B и пересечения A ∩ B, а также дополнение одного множества до другого B \ A. Однако формальное построение ничего не говорит о существовании соответствующего множества. Например, объединение двух множеств может отсутствовать при наличии связей, несовместимости свойств элементов. Пересечение множеств не может быть пустым; в противном случае мы говорим, что множества не пересекаются. Точно так же, дополнение существует только для собственного подмножества: A ⊂ B. Другими словами, набор реализуемых в теории множеств операций определяется особенностями предмета; и наоборот, из существования теоретико-множественных структур мы делаем выводы о строении универсума.

Совокупность реализуемых предметных множеств может стать универсумом для следующего уровня иерархии, на котором мы строим множества из множеств. По отношению к предмету, это уже не множества, а классы — сущности существенно иного уровня, которые не могут включать объекты из универсума, и сопоставлять одно с другим напрямую нельзя.

Если построение множеств связано преимущественно с предметными свойствами, классы в большей степени определяют логику теории, способ рассмотрения. Разные теории одного и того же будут различаться на уровне классов.

В простейшем случае, когда возможны любые комбинации свойств, уровень классов обладает характерной структурой. Для каждого одноэлементного множества, можно построить класс всех пересекающихся с ним множеств; другими словами, мы рассматриваем все совместимые с выделенным объектом из универсума свойства как класс, совокупность множеств, содержащих соответствующий элемент. Поскольку всякое множество принадлежит классу каждого из своих элементов, уровень классов полностью покрывается такими, элементарными классами. Таким образом, классы однозначно сопоставлены объектам универсума, и уровни иерархии переходят один в другой. Это называется обращением иерархии: элемент принадлежит множеству — но и множество принадлежит элементарному классу. Такая трехуровневая схема и представляет собой формальную теорию, математическую модель предметной области.

Еще один способ развертывания иерархии опирается на возможность сделать произвольное множество универсумом (базой) для множеств следующего уровня. Такие множества можно было бы назвать "внутренними" — в противоположность классам как "внешним" множествам. Внутренние множества, очевидно, соответствуют подмножествам базы; однако это не одно и то же: они принадлежат разным уровням. На этом примере можно легко видеть, что набор внутренних множеств ограничивается реально имеющимися подмножествами базы; это один из способов формализации понятия связи. Разумеется, существуют также классы внутренних множеств. При достаточно богатом универсуме теория допускает весьма сложные иерархические структуры.

Пусть теперь у нас есть два различных универсума U₁ и U₂. Каждый из них порождает свою теоретико-множественную иерархию. Нельзя произвольно комбинировать компоненты разных иерархий, даже одного уровня. Это как если бы мы вдруг начали складывать миллиметры с килограммами. Требуется объединить два универсума в один — и только тогда можно строить единую теорию. А объединять можно по-разному. Две основные парадигмы: последовательное и параллельное соединение, временное и пространственное, внутреннее и внешнее.

При последовательном синтезе мы получаем универсум, который называется (прямым, или декартовым) произведением: U = U₁ × U₂. Объектами такого универсума будут упорядоченные пары объектов из U₁ и U₂ : x = ⟨x₁, x₂⟩. Здесь существенно, какой из исходных универсумов идет первым, а какой после него. Даже если эти два универсума совпадают, в прямом произведении они выступают в разном качестве: как первый и второй. В каждой из этих позиций могут быть свои связи, а также ориентированные связи на возможные сочетания объектов в паре. "Декартов квадрат" U² отличается от числового возведения в степень; в частности, в паре ⟨x, x⟩ объект x в первой позиции — не то же самое, что объект x во второй: один и тот же объект здесь рассматривается с разных сторон. Например, он может быть взят в разные моменты времени — и существенно измениться от одного к другому. Формально, мы вполне можем взять за основу противоположный порядок. Однако в этом случае и выводы теории будут звучать иначе: например, если при одном порядке x₁ "предшествует" x₂, — противоположный порядок предполагает другую терминологию: мы говорим, что x₂ "следует за" x₁. Синтез универсумов объективен; он предполагает практическое использование объединенного универсума, умение реально различать место в последовательности.

Множества при таком синтезе оказываются множествами упорядоченных пар, с учетом наложенных связей. Каждый элемент множества содержит компоненты от каждого из исходных универсумов. Легко видеть, что, при наличии множества всех элементов для начального и конечного универсума по отдельности, множества над объединенным универсумом возможно трактовать как подмножества обычного декартова произведения множеств. Однако мы знаем, что такие "глобальные" множества могут не существовать, а декартовы произведения существующих по отдельности множеств не обязательно порождают те же самые множества пар, особенно при наличии ориентированных связей.

Последовательный синтез соответствует выделению у объекта разных сторон, с которыми мы на практике можем иметь дело по отдельности. Например, температура и давление газа; ширина реки и ее глубина; или общество в разные эпохи. Параллельный синтез, напротив, соединяет универсумы внешним образом, как две "параллельных" реальности (например, как разные области одного пространства, или компоненты и фазы многочастичной физической системы). В этом случае мы говорим о (прямой) сумме, или суперпозиции: U = U₁ + U₂. Такая сумма коммутативна: нам важен сам факт присутствия объектов, а не их порядок. В достаточно развитых иерархиях возможны также "взвешенные" суперпозиции, когда элементы разных универсумов учитывают с разными коэффициентами. Объекты разных универсумов сосуществуют одновременно, мы можем использовать в работе и те, и другие. Тогда каждое множество A над объединенным универсумом будет прямой суммой множеств, построенных над каждым универсумом по отдельности: A = A₁ + A₂. От объединения множеств это отличается тем, что элементы из разных универсумов не смешиваются, они участвуют в теоретико-множественных построениях по отдельности. В частности, нельзя говорить о полном количестве элементов множества: есть количество элементов одного и другого универсума, два числа вместо одного. Не всякие комбинации (прямые суммы) множеств, надстроенных над U₁ и U₂ по отдельности, будут множествами объединенного универсума: существование результата следует устанавливать особо, исходя из имеющихся связей.

Последовательное объединение универсумов по отношению к множествам является внутренним: каждый элемент множества расщепляется на две компоненты. Напротив, параллельное объединение связывает множества внешним образом, не меняя их элементы.

Если A = A₁ + A₂ и B = B₁ + B₂, объединение множеств происходит покомпонентно: A ∪ B = A₁ ∪ B₁ + A₂ ∪ B₂. Поскольку же в предметной теории не бывает пустых множеств, в каждом множестве над составным универсумом должны присутствовать обе компоненты. Это вполне аналогично тому, как декартово произведение содержит только пары элементов: позиции в кортеже не могут быть пустыми. Поэтому пересечение A ∩ B = A₁ ∩ B₁ + A₂ ∩ B₂ существует только при одновременном наличии общих элементов у A₁ и B₁, и у A₂ и B₂. Заметим, что ни то, ни другое пересечение не обязано существовать по отдельности как множество над U₁ и U₂ соответственно; однако в качестве компонент составного универсума они оказываются возможными.

В общем случае универсум U может быть многокомпонентным, с разными типам соединения компонент. В этом случае особенно важно дополнить формальные построения анализом существующих ограничений. Корректность рассуждений в такой теории связана не только с ее логикой, но и со строением предмета. Например, допустим, что S — универсум симптомов, C — индивидуальные особенности пациента, M — универсум схем терапии; тогда множества над универсумом (S + С) × M представляют возможные методики лечения болезней. Понятно, что далеко не всякие комбинации имеют смысл. В качестве связи здесь можем выступать динамика заболевания, которую нам важно направить к выздоровлению, а не наоборот. Процесс лечения представляется в этой схеме последовательностью множеств, когда методы лечения регулярно подстраиваются под изменения в состоянии больного.

Для множеств составного универсума обычным образом определяются внутренние множества и классы (внешние множества). Помимо элементарных классов, здесь появляются также разного рода проекции: классы множеств, совпадающих по одной из компонент. Например, можно рассматривать параметрическое семейство A = A₁ + *₂, понимая под * произвольное множество над универсумом U₂. Класс существующих над U сумм такого вида (проекция на A₁) определяет некоторый класс над U₂, который можно было бы назвать смежным классу A; вообще говоря, он может не существовать в иерархии над U₂ сам по себе. Пересечение этого класса с собственными классами U₂ образует границу семейства A в U₂. Точно так же определяются классы декартовых проекций — семейства множеств с элементами вида ⟨x₁, *⟩ или ⟨*, x₂⟩. Как и в случае элементарных классов, иерархия здесь замыкается на себя, поскольку полученные структуры оказываются подобны каким-то из уже имеющихся в теории объектов.

Разумеется, можно рассматривать и другие структуры на уровне множеств (логические структуры), и порождаемые ими "классы эквивалентности". Однако сами по себе формальные конструкции не становятся компонентами теории: для этого нужно еще и предметное наполнение. Сопоставимость классов с компонентами универсума как раз и дает критерий приемлемости формальных процедур, ограничивает область их применимости.

Итак, всякая предметная теория множеств: 1) опирается на некоторый, не обязательно формально определенный универсум; 2) надстраивает над универсумом уровень множеств; рассматривает классы множеств; 3) идентифицирует классы с объектами универсума. Строение предмета определяет структуру теории.

август 2006