Квантовая теория множеств

Основные понятия классической теории множеств неформальны: множество, элемент, принадлежность и непринадлежность, тождество, равенство и неравенство. В зависимости от принятых правил употребления появляются различные классические теории; но формальная аксиоматика — это не определение, а всего лишь (выражаясь физическим языком) "связь", ограничение на возможные конструкции, не снимающее многозначности базовых терминов. Когда заходит речь об аналогиях с физикой, приходится выбирать одну из возможных интерпретаций; это нормально для всякой науки, и не вызывает особых проблем, пока мы не придаем ни одной из возможных абстракций преимущества перед другими, помним, что у каждой теории есть своя область применимости. С другой стороны, мы никак не ограничены в выборе возможных моделей — и потому смело развиваем сколь угодно экзотические идеи в надежде, что для чего-нибудь и они сгодятся.

Традиционные математические объекты по своей сути статичны: предполагается, что они просто даны — а математик лишь изучает свойства этой данности. Это вполне подобно тому, как мы относились к миру до XX века, в классической физике. В этом контексте, множество есть само по себе, и оно никак не зависит от наших манипуляций с ним. Кто-то его для нас изготовил, и мы спокойно работаем, зная, что никуда оно от нас не убежит. Соответственно, если есть несколько множеств, мы можем делать с ними что угодно, и результат будет одинаков, для всех и всегда.

Основное свойство всякого множеств — наличие элементов. Возможно, элементы есть и у чего-то еще, кроме множеств, — но то, у чего нет элементов, заведомо множеством не является. В частности, термин "пустое множество" — не более чем сокращение для текста вроде: не существует множества, такого, что... Можно придать этому понятию и объектное содержание (выбирая одну из возможных моделей), однако множеством он не станет все равно.

Множества бывают разные. Когда множество маленькое, мы можем перечислить все его элементы — охватить их одним взглядом, или хотя бы указать способ перебора всех элементов за конечное (то есть, укладывающееся в рамки данной деятельности) время. Для очень больших множеств такое в принципе невозможно; в лучшем случае, мы можем указать, на что это похоже: отрезок прямой, совокупность функций, или еще что-нибудь. Иногда и этого сделать не удается; кое-кто даже отказывается считать такие необъятные объекты множествами. Но допустим, что мы каким-то способом заполучили такого монстра. Перед нами две проблемы: с одной стороны, если мы по жизни столкнулись с чем-то достаточно определенным, встает вопрос, не является ли оно элементом данного множества, — то есть, должна существовать эффективная процедура определения принадлежности чего угодно нашему (пусть даже очень большому) множеству. С другой стороны, если мы хотим, чтобы это было множеством, нам надо уметь предъявить публике хотя бы один его элемент — то есть, мы знаем практический способ запустить руку внутрь множества и вытащить ("выбрать") нечто, ему заведомо принадлежащее (причем именно как элемент, а не подмножество). Обе эти процедуры могут оказаться весьма нетривиальными; собственно, их выработкой как раз и занимается любая из областей классической физики: всякая наука в процессе своего развития определяет свой предмет.

О принадлежности в классической теории множеств говорить можно только если мы явно конструируем множество — то есть исходим из уже готовой предметной области и лишь ограничиваем (прямо или косвенно) право ее элементов принадлежать данному множеству. Никакой универсум принципиально неопределим в рамках теории множеств; имеющиеся на этот счет предложения всегда содержат логический круг: заранее предполагается то, что мы хотим в итоге получить.

Выборки тоже дело не простое. Но если все же мы как-то договорились о технологиях, множества по отношению к процедуре выборки могут вести себя по-разному, и это не произвол математика, а веление той предметной области, к которой его математика прилагается. Традиционная теория множеств имеет дело с такими совокупностями, в которых не может быть больше одного объекта каждого типа. Если мы вытащили при выборке элемент — получается другое множество, в котором такого элемента уже нет. Множество как система распадается на две части: элемент и остаточное множество (которого в каких-то случаях может и не оказаться). Такие превращения нам хорошо известны из физики и химии. Разумеется, можно обойтись и без человеческого вмешательства, если множества в рамках какой-то теории взаимодействуют и обмениваются элементами.

Противоположный вариант — несколько элементов одного типа в одной совокупности, которую мы должны были бы назвать уже иначе: например, "набор" — вместо "множество". В тех случаях, когда существует эффективная процедура определения количества элементов одного типа, набор оказывается множеством; вообще говоря, это не так. Для набора-множества есть разные представления. Например, двухуровневая структура, в которой на низшем уровне все элементы различимы, а на верхнем — объединены в классы эквивалентности. Соответственно, полное количество элементов на нижнем уровне — и количество классов эквивалентности на высшем. В статистическом представлении — мы говорим о том, что каждый элемент принадлежит множеству с какой-то вероятностью: количество элементов одного типа отнесено к полному количеству элементов. Для больших множеств статистическое описание может оказаться предпочтительным (или даже единственно возможным). Промежуточные представления имеют дело со статистическими весами произвольного вида и соответствующими статистическими суммами; конкретный выбор мы делаем из чисто практических соображений.

Однако в любом случае классическая теория имеет дело с "готовыми" множествами, исследовать которые можно сколь угодно долго. Любая структурная перестройка для классического наблюдателя выглядит как "сингулярность", "катастрофа", или "фазовый переход" — конец одного и начало другого. Нас интересуют плавные изменения в зонах непрерывности; на их стыках новые устойчивые образования успевают вполне сформироваться от одного акта "измерения" к другому.

Квантовый эксперимент отличается от классического прежде всего вмешательством наблюдателя в поведение наблюдаемой системы: сначала мы готовим то, что собираемся наблюдать — а потом уже соображаем, что, собственно, мы приготовили. Классическая физика обычно следует той же схеме — но здесь этап подготовки никак не связан с этапом измерения, они разнесены в пространстве, во времени, или еще как-нибудь; грубо говоря, приготовленная система живет достаточно долго и успевает забыть о тех, кто ее приготовил, до того как кто-то другой начнет ее изучать. Квантовую систему мы употребляем сразу же, иногда в самом процессе ее приготовления. Похожее различие существует между кинокартиной — и театральной постановкой, между перепиской — и живой беседой. Разумеется во всем есть свои градации, и различие квантовых множеств от классических существует лишь на одном уровне иерархии, при определенном способе ее развертывания.

Квантовая динамика целиком помещается в классические точки сингулярности: классическое движение до и после — для квантовой теории лишь начальное и конечное состояние, асимптотика. Самое интересное внутри — но непосредственно наблюдать мы его не можем (не превращая тем самым в классическое движение) и должны догадываться по косвенным признакам, сопоставляя структуры на входе и на выходе.

Квантовое множество (или, вообще говоря, набор) — это как-то приготовленная система в определенном состоянии, которое мы абстрактно представляем "вектором" состояния |A⟩. Возможные в данной схеме приготовления множества все вместе мы метафорически объединяем в некоторый универсум —"конфигурационное пространство". Чтобы выяснить, принадлежит ли элемент a множеству A, мы вычисляем число ⟨a|A⟩, квадрат модуля которого дает нам степень принадлежности элемента a множеству A (статистический вес). Пользуясь векторной метафорой, мы можем сказать, что ⟨a| представляет некий "функционал" над пространством множеств данного уровня. Совокупность таких функционалов и задает предметную область теории. Иначе говоря, это как раз то, что мы в результате своей деятельности хотим получить, ее продукт.

Одноэлементное множество, содержащее только элемент a, можно обозначить как |a⟩; при этом ⟨a|a⟩ = 1 (в общем случае единица может быть не числом, а чем-то вроде δ-функции — то есть, еще одним функционалом), а для любых других элементов b из предметной области теории ⟨b|a⟩ = 0.

Здесь пока не видно существенных отличий от классической теории множеств (наборов): переход от вероятностей к амплитудам ничего не меняет сам по себе, это лишь своего рода "замена переменных", "подстановка" — смена точки обозрения; на выходе вполне классические веса элементов, и польза от нововведения не очевидна (а иногда и сомнительна). Так оно и будет, пока мы говорим об уже приготовленном множестве, на которое мы не оказываем никакого влияния, а только лишь измеряем степени принадлежности. Кинематическая картина всегда формируется на уровне макроскопического (классического) наблюдателя — поскольку в конце всего нам нужны совершенно практические вещи, пригодные к повседневному употреблению. Все различие — в характере динамики: классические множества взаимодействуют на уровне наблюдаемых, квантовые — на уровне амплитуд.

Поскольку речь идет о математике (науке о структурах вообще), динамика не фигурирует в теории непосредственно, она должна быть представлена особыми структурами. В квантовой парадигме, мы ассоциируем всякие изменения состояния (движение в конфигурационном пространстве) с "операторами". С одной стороны, речь идет о преобразовании множеств — то есть, об операциях над множествами в заданном универсуме; с другой стороны, всякое сопоставление одного множества с другим есть тоже своего рода преобразование — и потому различные отношения между множествами также представимы операторами — хотя, возможно, иного типа.

В частности, отношение принадлежности элемента множеству требует переосмысления. Казалось бы, простая вещь: мы не имеем право непосредственно сопоставлять объекты разного типа (разных уровней). Можно сравнивать элементы с элементами, а множества с множествами; для сопоставления элементов с множествами надо как-то привести их к общему типу. Традиционная запись a ∈ A — лишь сокращение для последовательности нетривиальных процедур, каждая из которых требует определенных условий осуществимости. Большинство этих условий явно не оговаривается, и математик в любом рассуждении заранее предполагает, что его мир устроен достаточно хорошо, чтобы получился именно тот результат, который предполагается получить. Логические затруднения приводят к тому, что некоторые математики вообще отказываются говорить об элементах — и сравнивают только множества; однако на само деле это лишь заметание мусора под ковер: те же трудности обязательно появятся в других местах, в другом виде.

В квантовой теории множества представлены "векторами состояния", а элементы — "функционалами". Различие сразу бросается в глаза. Сопоставить одно другому — дело непростое, и здесь возможны разные технологии (и, соответственно, весьма разные теории). Однако в любом случае есть два взаимно дополнительных подхода: либо мы элементы преобразуем в множества и сравниваем множества — либо, наоборот, множества сводим к элементам. Третий путь, когда и элементы, и множества приводят к чему-то синтетическому, означает на деле выход за рамки собственно теории множеств.

Первый способ опирается на особую операцию над множествами — проекцию; по смыслу это выделение "части" множества (в классической теории — подмножества). Для выделения единичного элемента a соответствующий оператор записывают как |a⟩⟨a|, так что проекция изображается как |a⟩⟨a|A⟩ — что выглядит, как будто элементу (функционалу) сопоставлено некоторое одноэлементное множество (вектор); таким образом, по отношению к данной предметной области множество предстает линейной комбинацией одноэлементных множеств:

То же самое множество можно отнести к другой предметной области и получить какое-то иное представление:

Формально это "условие полноты" записывают как

однако надо помнить, что далеко не всегда пространства элементов a и b совпадают — это вовсе не переход от одного "базиса" к другому, а рассмотрение того же самого с какой-то другой (иногда противоположной) стороны. Например, граф можно представить как множество вершин, соединенных стрелками — или как множество стрелок разделенных вершинами; управлять компьютером можно либо с клавиатуры, в командной консоли, — либо мышью, в графическом интерфейсе. Суть дела при этом не меняется — а выглядит очень по-разному.

Заметим, что объем базиса, вообще говоря, никак не связан с мощностью множества. Например, в атомной физике одни и те же величины можно вычислять либо интегрированием по состояниями непрерывного спектра — либо суммированием по дискретному базису. В логике базис из двух элементов T и F используется для оценки самых разных высказываний — их предметное содержание и смысл для логической оценки не существенны. Одну и ту же задачу можно решить надежным, но громоздким способом — или нестандартно и элегантно.

Вообще говоря, продукт деятельности отличается от ее объекта (исходных материалов и технологий). Однако бывают ситуации, когда и объект, и продукт рассматриваются узко, лишь в одном из возможных аспектов — и различие снимается. Так, в рыночной экономике материальное и духовное производство предстает движением меновой стоимости, а в структуре научной теории дедукция переходит от одних истинных суждений к другим.

На практике удобнее работать в ортогональном базисе. Но, как и в классической теории, это вовсе не обязательно: присутствие одного элемента может (в какой-то мере) предполагать присутствие другого. В квантовой теории ортогональность означает, что каждое одноэлементное множество является собственным вектором некоторого фиксированного оператора.

Переход от одного базиса к другому формально записывается как

То есть,

В простейшем случае, когда базисы a и b определены в одном и том же пространстве, "оператор плотности" ρ может обращаться в единицу — и речь идет о переходах между эквивалентными представлениями. В общем случае требуется привести одно пространство к другому, чтобы сделать их сопоставимыми — способ такого приведения зависит от конкретной предметной области и характера задач.

Трактовать множества как совокупность элементов — значит уметь явно конструировать их. Поскольку в классической теории конструирование отделено от наблюдения, появляется иллюзия единовременного присутствия всех элементов множества: они все вместе попадают в поле зрения и один элемент никак не выделяется на фоне других. Квантовая теория множеств представляет операции добавления или изъятия элемента соответствующими операторами: запись говорит о том, что после действия "оператора рождения" a⁺ на множество A образуется новое множество, скорее всего (но, как указано ниже, вовсе не обязательно) содержащее элемент a, — то есть, мы ожидаем, что . Обратная операция: действуя "оператором уничтожения" a^– на множество |a; A⟩, мы ожидаем восстановления множества A. Таким способом можно явно конструировать любые конечные расширения исходного множества A, которое в данном случае играет роль "вакуума" — фонового состояния, по отношению к которому мы рассматриваем все остальное. Может появиться соблазн взять в качестве вакуума пустое множество — и строить теорию абсолютным образом. Но пустое множество — это не множество, и мы не имеем права обращаться с ним как с обычными множествами (и в частности, действовать на него операторами, определенными для множеств). Точно так же в современной физике вакуум — лишь условность, уровень отсчета. Встречая в физическом тексте формулу вроде a^–|0⟩ = 0, мы должны понимать это как идиому, условное обозначение для совокупности наложенных на физическую систему связей; во многих случаях оператор уничтожения частицы может рассматриваться как оператор рождения античастицы: , и возможны состояния с одновременным присутствием нескольких частиц и античастиц (вроде электрон-позитронной пары, или системы свободный электрон + дырка при ионизации атомов). Точно так же, (множество с "дыркой", анти-элементом); как именно следует реализовать добавление или уничтожение элемента — зависит от предметной области. Например, добавление элемента не обязательно связано с его возникновением, а лишь увеличивает количество элементов того же вида (наподобие добавления электрона к атому или иону); точно так же, уничтожение элемента — уменьшает "вес" элементов этого вида в множестве: то есть, элемент и дырка тут же "аннигилируют", не оставляя в теории существенных следов. В простейшем случае, когда множество может содержать только один элемент данного вида, операторы рождения и уничтожения идемпотентны: .

Последовательное действие нескольких операторов рождения/уничтожения порождает многоэлементные множества:

Порядок действий может иметь значение, и лишь в простейших случаях множество равно множеству {c, b}.

Когда квантовые элементы "интерферируют" внутри множества (а здесь могут быть самые разные возможности), состояние |a; A⟩ уже нельзя представить как |a⟩|A⟩. Лишь очень простые множества представляются произведением одноэлементных множеств (собственных векторов некоторого оператора) — такие состояния (а также их невырожденные линейные комбинации) называют "чистыми". При наличии "полного" базиса, мы можем "перечислить" элементы исходного множества:

и тогда

Так присоединение элемента к множеству из многих элементов сводится к объединению двухэлементных множеств: новый элемент a поочередно связывается с каждым из элементов исходного множества. Это очевидным образом соотносится с аналогичным разложением для традиционных множеств:

однако в квантовой теории требуется еще и учет интерференции различных путей виртуального перехода от одного состояния к другому.

Поскольку операторы рождения и уничтожения мы сопоставляем не множествам, а элементам, объединение двух произвольных множеств, вообще говоря, не определено. Но, например, если два множества получены из одного и того же исходного множества ("базы", "вакуума"), появляется возможность рассматривать композицию соответствующих операторов порождения как оператор порождения объединения. Это подобно тому, как один и тот же атом может иметь различные степени ионизации. Точно так же в арифметике мы порождаем натуральные числа из единицы при помощи единственной операции — инкремента. Сумма натуральных чисел — это особый объект, привнесенный в теорию извне, и определенный, вообще говоря, на другом уровне, как класс изоморфизмов.

В некоторых случаях возможно определить объединение множеств, полученных расширением разных баз; это соответствует переходу от атомной к молекулярной физике, когда в образовании целого участвуют лишь "валентные" электроны и дырки, а соответствующие атомные остатки считаются изолированными (то есть, вакуум объединения множеств равен произведению их баз). Здесь также бывают многочисленные вариации. Аналогом классического объединения будет нечто вроде ковалентной связи, когда все валентные электроны в одинаковой степени принадлежат каждому атому в связи. Другой вариант — нечто вроде ионной связи, когда элементы одного множества связываются с "дырками" другого. Возможны также "водородные связи" — когда реального объединения нет, но для разных множеств используется общий базис.

Обобщение конечных расширений на бесконечные (счетные и несчетные) не представляет особого труда. С практической точки зрения это означает переход на следующий уровень, рефлексивность деятельности: вместо выполнения единичных операций мы конструируем сами эти операции по единому правилу. Как и любую иерархию, порождение множеств можно свернуть в "точку" — и развернуть в сколь угодно развитую иерархическую структуру.

Все возможные "взаимодействия" между множествами (теоретико-множественные операции и отношения) выражаются через комбинации операторов рождения и уничтожения. Каждая конкретная теория опирается на некоторый набор базовых (элементарных) взаимодействий, а все остальное может быть сведено к их различным комбинациям. Поскольку в конечном итоге нас интересует вполне определенный продукт, мы приводим результат действия каждого оператора к единому базису; то есть, разные комбинации элементарных операций (последовательности взаимодействий) могут приводит к возникновению одного и того же (в смысле практической неразличимости) множества, а интерференция этих виртуальных процессов приводит к особенностям глобальной организации (спектра) множества-продукта, вплоть до невозможности получить какие-то множества из исходного (правила отбора).

Тут самое время задуматься о сравнении множеств. Что значит — "одно и то же"? Равенство элементов — вопрос практический, оно определено строением предметной области. Что такое равенство множеств — вопрос непростой. Традиционно полагают, что два конечных множества равны тогда, и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Даже такое, вроде бы, интуитивно ясное определение на самом деле опирается на весьма серьезные допущения о предметной области и способах перебора элементов (начиная с самой возможности перебора). Для бесконечных множеств трудностей еще больше: надо успеть за конечное (или даже бесконечно малое) время перебрать все элементы одного множества и проверить наличие их в другом, и наоборот. Сразу вспоминается квантовая механика, где тонкие процессы взаимодействия "упрятаны" в одну макроскопическую точку, а на выходе мы имеем готовую интегральную оценку — спектр. Однако и в классической теории можно представить себе простую схему сравнения, в которой одно из множеств превращается в фильтр, своего рода барьер, на который накатывается поток элементов другого множества: совпадающие элементы поглощаются (или отражаются назад) — и если на выходе (по другую сторону барьера) ничего нет, можно утверждать, что рассеянное множество заведомо меньше множества-фильтра, это его подмножество. Обращая ситуацию (меняя поток и фильтр местами), проверяем обратное отношение: если на выходе опять пусто — значит, два множества равны.

Понятно, что это лишь одна из возможных реализаций; но такая мысленная конструкция выпукло высвечивает главное: сравнение множеств неизбежно опирается на многочисленные предположения о динамике, о характере взаимодействия. Меняем постановку эксперимента — и рискуем получить другой результат. Ситуация не нова: например, в математике сосуществуют различные определения размерности — и приходится устанавливать соответствия. Точно так же, вместо равенства бесконечных множеств мы говорим лишь об их равномощности или, самое большее, об изоморфизме. Но всякому нормальному человеку понятно, что, например, звучание фонемы физически отличается от письменного знака, который условно сопоставлен ему в МФА, и одно в другое никак не превратить: два множества лишь подобны, но не равны. Точно так же, четные натуральные числа — вовсе не то же самое, что нечетные, хотя одно множество однозначно сопоставимо с другим. Нотную запись мелодии можно воспроизвести на скрипке, на фортепиано, на органе... — однако в оркестре эти инструменты далеко не "изоморфны".

Квантовая парадигма вносит свои коррективы, добавляя "встроенную" неопределенность, "частичную" принадлежность. Однако процедура "фильтрации" одного множества другим переносится в квантовую теорию множеств без изменений; более того, превращение множества в фильтр превращается в простой формальный трюк: надо все операторы рождения элемента для одного из множеств заменить на соответствующие операторы уничтожения — так, чтобы получившиеся "дырки" ("антиэлементы") аннигилировали с элементами другого множества, и тогда на выходе мы сразу получим спектр различий. То есть, для множеств

результат сравнения дан амплитудой

В каких-то допущениях, равенство элементов a = x, b = y, превращает это выражение в ⟨Z|A⟩ при равенстве баз, это просто единица. Разумеется, в более сложных конструкциях равенство единице не гарантирует равенства множеств; но если оказывается, что виртуальные переходы до такой степени нейтрализуют друг друга, — значит, одно из множеств может быть эффективно преобразовано в другое, и в практическом плане они равны. Рассматривая это выражение как функцию от каких-либо "макроскопических" параметров, можно получить полноценный спектр, и внутренние компенсации проявятся в его структуре (например, как резонансы).

Квантовая теория множеств не просто расширяет классическую — она фактически предлагает пучок конкретных реализаций, в зависимости от конкретных задач. Точно так же в физике "теории всего" допускают много разных "ландшафтов". Выбор решения — не произвол, решает практика. Такая, практически ориентированная математика перестанет быть всего лишь игрой ума и станет по-настоящему осмысленной.

ноябрь 1985