Рациональность пространств

По сути своей, мир очень прост. Сложным его делают громоздкие частности, стремление разглядеть как можно больше деталей. Все кажется одинаково важным, и не хочется упустить ни крупицы. Вот и блуждаем от одной тени к другой, и так в них запутываемся, что в бытие чего-то кроме теней уже и не верится. Наука вязнет в рассуждениях о себе самой, искусство смакует собственные увлечения, философия тщится уложить мир в одну-единственную схему. Тем более важно в такие моменты уметь остановиться, посмотреть со стороны на мир и на себя в мире. Оказывается, что детализация вовсе не обязательно уточнение, а популярность далеко не всегда вульгарна. Удачный образ может быть полезнее сотни формул, а строгая теория на деле не более чем развернутая метафора. Очень может быть, что несколько очевидных замечаний в расчете на любознательного дилетанта необходимы науке наравне с кропотливыми расчетами и долгими экспериментами. Кому хочется нетривиальности, все дальнейшее могут не читать.

По жизни, мы привыкли двигаться в разных направлениях, делать одновременно кучу дел, находить неожиданные стороны у самых обыкновенных вещей. С другой стороны, справиться с трудным делом часто получается только путем выделения отдельных этапов, промежуточных целей и вспомогательных задач. И в том, и в другом случае появляется возможность кооперации, распределения деятельности между несколькими (а иногда и очень многими) участниками. Когда люди начинают заниматься наукой, они воспроизводят в ее строении все ту же логику: всякое исследование либо учит строить одно из другого — либо позволяет разобрать целое на части, чтобы сложить их впоследствии как-нибудь иначе. Легко видеть, что первично тут стремление к созиданию, а всякие разборки нужны только в интересах развития производства.

Как только заходит речь о соединении различного или внутреннем строении целого, встает вопрос: существуют ли здесь общие подходы — так сказать, типовые технологии? Философия отвечает: да, существуют. Однако не как раз и навсегда заданные шаблоны (технологические карты), а по-разному, в зависимости от того, чем мы конкретно в данный момент занимаемся. Такие фундаментальные принципы воспроизводятся снова и снова, ибо они выражают универсальные черты всякой деятельности, а в конечном счете — единство мира, в котором эта деятельность способна возникать. Называются они философскими категориями. Из категорий, естественно, можно строить категориальные схемы, и развертывать каждую в иерархию схем.

Чуть ли не самая известная категориальная схема — противоположность количества и качества, их взаимопревращение. Вот ее мы и положим здесь в основу математики размерности. Опять же, без лишних сложностей — в самых общих чертах, интуитивно.

Допустим, у нас есть задача: изготовить нечто общественно полезное. Если продукт удовлетворяет некоторую потребность — его качество нас устраивает. Любой другой продукт, удовлетворяющий ту же потребность для нас (в рамках той же деятельности) обладает тем же качеством. В этом смысле все такие продукты одинаковы (взаимозаменяемы). Но когда мы говорим "другой" — мы уже подразумеваем возможность различать качественно одинаковые вещи; это различие одинаковых вещей называется количественным.

Качество и количество в данном случае соотносятся только в контексте деятельности, по отношению к ее продукту. Разумеется, такого рода соотношения возможны и в природе, живой или неживой, безотносительно к человеческим потребностям. Но мы тут собираемся заняться конструированием пространств — а про все остальное надо говорить другими словами.

Легко видеть, что просто различение одинаковых вещей — это еще не количество. Например, чукча знает своих оленей по именам и "в лицо" — и они для него качественно различны, хотя запрячь в нарту он может как одного, так и другого. То есть, качество запросто может стать иерархическим; для человека это связано с объективной взаимозависимостью разных деятельностей. Точно так же, в математике элементы множества никак не соотносятся друг с другом, они просто различны, — но каждый принадлежит тому же множеству. На верхнем уровне иерархии, говоря о множестве, мы не заостряем внимания на том, как именно один элемент отличается от другого; это качество более глубокого уровня.

Чтобы различие стало количественным, нужно, помимо собственно производства и потребления, заняться еще и наведением порядка. Рассортировать, расположить все, что годится для удовлетворения данной потребности, по предпочтительности. В предельном случае, когда одно ничем не лучше другого, такое упорядочение может опираться на внешние обстоятельства деятельности: что-то произведено раньше другого, что-то просто раньше попалось нам на глаза... Перечисление может показаться случайным — но причина по жизни всегда есть. Место в этом перечислении — это и есть количество в собственном смысле слова. Очевидно, количество тоже бывает иерархическим: на каждом уровне пригодности оказывается группа вещей, и дальше надо разбираться с порядком внутри групп; с точки зрения количества верхнего уровня внутренние количественные различия выглядят несущественными поправками — или даже бесконечно малыми. Точно так же, переход от одной степени удаленности от верхнего уровня к следующей может требовать разных усилий — и здесь еще одна количественная иерархия.

В теории размерности такие, соотнесенные друг с другом в контексте общей деятельности, качество и количество представляют пространство и время — и вместе образуют то, что мы называем пространством размерности 1 (одномерным пространством, или пространственным измерением).

Если по-простому: пространство — это возможность двигаться, переходить от одного к другому "естественным образом", в соответствии с имеющимся порядком. Если мы хотим, чтобы наши абстрактные пространства представляли что-то в реальном мире, мы должны позаботиться о правильности (объективности) упорядочения. Пространство и время — это лишь одна из сторон движения, и определены они только по отношению к движениям некоторого вида.

Качества как таковые несопоставимы. Две вещи разного качества — просто различны. Но как только есть порядок — можно сравнивать одно с другим в пределах данного качества. Одно оказывается дальше, другое ближе... Равенство — дело непростое, намек на существование внутренней иерархии.

Ограничимся пока традиционной, "плоской" оцифровкой одномерного пространства: есть некоторое начало отсчета (например, соотносимое с "идеальным" для данного субъекта продуктом деятельности), и каждой точке отвечает вещественное число  — время, необходимое для перемещения из начала координат с некоторой "стандартной" скоростью; в физике (следуя древним традициям) в качестве стандарта используют скорость света — именно поэтому ("по построению") она оказывается постоянной во всех системах отсчета.

Как легко догадаться, отрицательных количеств в природе не бывает. Всякая иерархия развертывается от вершины вглубь. Сравнение положительных чисел показывает, в каком направлении требуется двигаться, чтобы перейти от одного к другому: это направление мы условно обозначаем знаком + или – . В более сложных (многомерных) случаях направление будет задано фазой, или еще как-нибудь; в общем случае речь идет о траекториях перемещения. В жизни это предполагает выбор одного из возможных способов производства, развертывание деятельности в иерархию действий и операций. Например, если нам нужен склад, мы можем построить его с нуля — а можем перестроить какую-нибудь церквушку.

В зависимости от того, что и как мы упорядочиваем, возникают разные типы пространства-времени. Все определяется характером деятельности, в рамках которой мы строим математику. Дискретность или непрерывность, конечность или бесконечность, безграничность или какие-то ограничения — все это примеры качественно разных количеств. Обратная сторона того же — переход количества в качество. Например, стулья могут быть разных размеров и форм; однако слишком маленький стул — это уже не предмет мебели, а игрушка; точно так же, гигантский стул — произведение монументального искусства, и в быту на таком сидеть никто не будет.

Опять же, в природе нет ни нулей, ни бесконечностей. Все хорошо в какой-то мере; неумеренность зачастую приводит к печальным последствиям. Пока мы всего лишь играем абстракциями, риск невелик: ну, нарвемся на очередной парадокс, вляпаемся в противоречие... Стоит заняться прикладными вопросами — абстракции превращаются в набор инструментов, и область применимости каждого надо выяснять на практике. Во многих случаях внутри каждого качества есть достаточный простор для количественных вариаций вдали от границ, некий рабочий диапазон, оставаясь в котором возможно абстрагироваться от всяких ограничений. Всем привычная идея пространственного измерения как возможности бесконечно двигаться в любом направлении — это как раз такая, локальная структура. Когда-то подобная "протяженность" подразумевалась сама собой. Сегодня все знают про квантовую механику, которая целиком сосредоточена на состоянии границ, а внутренние (локальные) движения допускает лишь виртуально, и то не всегда. По-хорошему, и в этом надо знать меру.

Мы уже видели, что количественные и качественные иерархии можно развертывать по-разному. Когда мы задумываем некую работу, допустимы сколь угодно замысловатые идеи; иногда мы намеренно даем свободу фантазии, нащупываем направления развития. Однако пора приниматься за дело: в какой-то момент мы решаем, что конструкция нас устраивает — и дальнейшее развертывание прекращаем. После этого можно работать с полученной структурой следуя обычаям науки, не задаваясь философскими вопросами. Упремся в чепуху — будем разбираться с основаниями.

Допустим у нас есть два одномерных пространства. Всегда ли возможно склеить их в нечто двумерное? Чисто формально, казалось бы, ничто не мешает рассматривать пару чисел, каждое от своего измерения. Килограмм картошки и три кирпича. Поскольку в деятельности человека все взаимосвязано, практически всегда можно найти (или искусственно создать) ситуацию, где подобное сочетание не покажется противоестественным. Но даже и в этом случае, интуитивно, простого сопоставления для пространственности не достаточно. Два качества могли бы рассматриваться как разные измерения одного пространства лишь при наличии качественной однородности: каждое из них представляет особое качество — но оба они представляют качество более высокого уровня. Другими словами, есть деятельность, предполагающая сочетание двух других деятельностей, каждая из которых необходима для получения конечного продукта. Как именно компоненты деятельности будут объединены — не столь важно. Например, мы можем сначала поставить забор, а потом его покрасить, — но можем привезти уже покрашенные панели, оснащенные приспособлениями для быстрого монтажа; возможны и промежуточные варианты (скажем, с дополнительной прокраской стыков). Тогда продукт составной деятельности логично представить точкой в двумерном пространстве, а процесс производства представлен одной из возможных траекторий от исходного состояния к конечному.

Собственно, так оно и делается в линейной алгебре: есть базисные вектора — а время выстраивает последовательность их линейных комбинаций. При этом оказывается, что построение базиса — в общем-то, дело вкуса, а конечный продукт получается как линейная комбинация при любом выборе осей координат и масштабов. Здесь снова мы сталкиваемся с разными способами развертывания иерархии — ее обращениями. Главное при этом — целостность, качественная определенность продукта. Возможность перестройки в рамках целого, симметрия — это как раз то, что отличает многомерное пространство от простого перечисления ("кортежа") разнородных качеств. Это подчеркивает принятая в линейной алгебре нотация: сложение векторов, а не просто покомпонентное сопоставление.

При отсутствии единства компонент возникает математический объект иной природы — взвешенное множество, набор элементов: каждому элементу набора (качеству) сопоставлено число, которое можно интерпретировать как степень выраженности соответствующего качества, или, скажем, удельный вес соответствующей компоненты. Например, в чемодане двое брюк, несколько рубашек, сколько-то пар носков... Плюс книги, плюс лекарства и предметы личной гигиены. Все вместе это составляет целостность особого рода — багаж, — но это вовсе не обязательно пространственно-временная целостность.

Разумеется, и здесь нет абсолютных границ. Наборы могут перерастать в пространства, если разные качества удается свести к одному (как на рынке любые товары представлены только их стоимостью); наоборот, так называемые фазовые пространства, в которые по осям отложены разнородные величины, по своим свойствам приближаются к наборам...

Многомерное пространство представляет некоторое качество, которое выражается через отдельные свойства, "частичные" качества. Количество в такой двухуровневой структуре также становится иерархическим: количество целого связано с количествами по каждому измерению. На практике это означает, что отдельные компоненты уже не будут независимыми — на эти величины наложена связь в физическом смысле, ограничение на возможные движения. Обычное евклидово пространство увязывает квадрат длины вектора с квадратами длин проекций на оси координат; величина банковского капитала увязана с курсами отдельных валют или котировками ценных бумаг. Кроме того, качество многомерности связано с количеством особого рода — количеством и порядком перечисления измерений (будь то просто нумерация векторов базиса или расстановка экономических приоритетов). Оба этих показателя связаны с локальными (метрическими) и глобальными (топологическими) свойствами пространства. Здесь мы будет говорить только о количестве измерений — размерности.

Итак, чтобы формально построить многомерное пространство, требуется перечислить отдельные измерения в определенном порядке и связать количественные характеристики элемента многомерного пространства с его количеством по каждой из компонент. Если связь симметрична, пространство в целом будет обладать соответствующей симметрией. В частности, метрика в евклидовом пространстве инвариантна относительно преобразований отражения, сдвига и вращения. Количественно, размерность пространства равна количеству его измерений (размеру каждого возможного "базиса"). Еще раз вспоминаем, что такая картина справедлива только на условиях физической локальности (в рабочей зоне пространственно-временной модели): при очень больших и очень малых "расстояниях" связи видоизменяются, количество переходит в качество и т. д.

Допустим, конструирование пространств целой положительной размерности мы освоили. Почему бы не приложить это умение к самим пространственным измерениям, представляя из многомерными пространствами?

Тут уместно указать, что в двухуровневой структуре (пространство в целом — отдельные измерения) не только качество верхнего уровня становится иерархическим ("расщепляется" на качества компонент), но и качество по каждому измерению уже не будет тем же самым, как если бы мы интересовались производством только этого, частичного продукта. Отпечаток целого на единичностях часто искажает самую суть, радикально меняет их качество. Одно дело — когда мы стараемся удовлетворить потребности людей, и совсем другое — когда речь идет о производстве чего-то на продажу; в последнем случае вместо полезной вещи в рыночной экономике допускается и недоделка, и суррогат, и даже нечто вредительское... В математике дела, как правило, обстоят не столь трагично; однако легко заметить, что к качеству каждого измерения добавляется еще один уровень: способность играть роль измерения с таким-то номером в пространстве такой-то размерности. Точно так же, иерархическим становится количество: не только координата, но и номер ее позиции в списке координат. Иерархические структуры отдельных измерений и иерархическая структура пространства в целом — разные представления одного и того же, обращения иерархии.

Отношение пространства в целом к отдельным измерениям характеризуется числом N — размерностью пространства. Но точно так же и отношение отдельной компоненты к целому можно характеризовать числом 1 / N — размерностью подпространства. Пространство само по себе может иметь целую размерность M ; взятое в качестве подпространства пространства размерности N , оно будет иметь размерность M / N . Так мы приходим к идее рациональной размерности.

Зайдем теперь с другой стороны. Допустим, у нас есть N-мерное пространство. Каждая из его осей (в любом базисе) взятая как подпространство имеет размерность 1 / N . Но пусть теперь каждое измерение имеет свои компоненты и оказывается пространством размерности M . Тогда его качество, отнесенное одновременно и к объемлющему пространству, и к пространствам-компонентам, характеризуется количественной размерностью M / N . При различных способах построения, полученное пространство имеет ту же рациональную размерность. Это ничем не отличается от исходных геометрических представлений: можно отрезок длины M разделить на N частей — а можно отложить M раз отрезок длины 1 / N . В каждом из этих подходов, представляя каждую точку исходного пространства пространством размерности k (которое вполне может оказаться и рациональным числом) мы получим пространство размерности kM / kN ~ M / N .

Разумеется, формальные конструкции становятся осмысленными лишь в контексте некоторой деятельности, которая допускает подобную иерархизацию. Традиционно, математика не интересуется происхождением изучаемых объектов и соотношениями разных уровней; для нее размерность пространства дана сама по себе, независимо от каких-либо других пространств. Это нормально, когда на практике поведение системы не зависит от способа включения в контекст (другую систему). Если же такое включение связано с модификацией наложенных связей (появлением новых взаимодействий), учитывать контекстную зависимость придется. Рациональные числа можно привести к целым, развертывая дополнительные размерности и накладывая дополнительные связи. При переходе к вещественным размерностям опираться на соизмеримость уже нельзя — и тут естественно говорить об иерархии вложений, когда процессы одной размерности протекают в пространстве другой размерности.

На ум сразу же приходят современные "теории всего", с их многочисленными "свернутыми" измерениями. Вероятно, сходство не случайно. Однако в природе, скорее всего, нет предпочтения одной размерности другой, и реализуются самые разные иерархические структуры. Мы сможем это обнаружить, лишь перестраивая нашу деятельность так, чтобы выявить дробные размерности. Намек на такую возможность — в указанных выше двух методах конструирования пространств рациональной размерности, внешним и внутренним образом: что мы не можем увидеть из-за нашей собственной пространственной организации, можно сделать наблюдаемым в качестве внутреннего свойства наблюдаемых систем. Нечто подобное мы на каждом шагу встречаем в квантовой физике. Однако хотелось бы подчеркнуть, что интерференция виртуальных процессов возможна даже без квантования, в чисто классических системах нецелой размерности. Вероятно, это окажется одним из проявлений относительности различия квантовой и классической теории.