Множества vs. алгебра логики

Часто рассматривают классическую пропозициональную логику и теорию множеств как две реализации булевой алгебры, отождествляя объединение множеств с логическим или, а пересечение множеств с логическим и. Но это не вполне соответствует логической структуре теории множеств. Например, всякое множество можно считать объединением одноэлементных множеств, но такая трактовка допускает разные интерпретации:

• перечисление (сильное объединение): мы рассматриваем множество как элемент a и элемент b и элемент c и ... — это симультанная интерпретация множества как актуально целого;

• исчерпание (слабое объединение): множество представляется как элемент a или элемент b или элемент c или ... — такая интерпретация подчеркивает идею потенциальной целостности, предполагает, так сказать, "зондирование" множества случайным выбором того или иного элемента.

С другой стороны, перечисление алгоритмично, поскольку предполагается, что множество можно построить из элементов; напротив, техника исчерпания ссылается на качественную определенность множества, на некие свойства элементов, которые делают их частью целого. Ср.:

• конвенциональная категоризация: будем собирательно говорить про г-на Иванова и и г-жу Иванову как о семье Ивановых;
• иллюстрация: овощи — это... гм... морковь, огурец, лук, и всякое такое.

Аналогично, два метода определения:

• конструктивное (явное): числовые типы данных включают целое, вещественное, дату и время;
• функциональное (неявное): назовем все вещественные числа x < 0 отрицательными.

8 января 2000