Точки и пределы

Традиционно, изготовление метрического пространства S выглядит примерно так: имеется некоторое множество B (которое в дальнейшем будем для краткости именовать базой; поскольку о топологии мы не говорим, путаницы не возникает), и мы умеем для любых двух точек x и y этого множества найти некоторое (вещественное) число ρ, которое называется расстоянием между точками при условии, что:

(1) ρ(x, y) = 0 тогда, и только тогда, когда x = y (2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(x, z)

Здесь тоже предполагается квантор "для любых" (над смыслом и осуществимостью которого мы пока не задумываемся). Вторая аксиома, по сути дела, говорит, что метрика есть функция не упорядоченной пары, а подмножества: порядок элементов не играет роли. Это сразу наводит на мысль, что метрика есть лишь одна из разновидностей меры: под расстоянием между точками скрывается размер того, что лежит между ними (длина или продолжительность пути). Но это, опять-таки, тема для особого рассмотрения. Последнее свойство называется правилом треугольника; именно его чаще всего модифицируют в альтернативных теориях метрики (например, для ультраметрических пространств).

Формальная математика исходит из того, что определять можно что угодно и как угодно. Осмысленности никто не требует. Разумеется, на самом деле определения вводятся не от фонаря, а так, чтобы в конечном итоге получить то, что хочется. А что хочется — определяет практика. Поэтому полной бессмыслицы никогда нет. Но обычному человеку бывает трудно пробиться через математические дебри чаще всего потому, что смысла происходящего он не усматривает, поскольку математики обычно не склонны явным образом изложить мотивы, а даже наоборот, всячески открещиваются от практического интереса. Здесь мы попробуем обратить внимание на то, что обычно остается в тени.

Следующий этап метрического строительства — последовательности точек множества B. Формально, это отображение множества натуральных чисел в базу метрического пространства. Однако по смыслу речь идет о некотором алгоритме, позволяющем выбирать по какому-нибудь принципу одну точку базы за другой; собственно, этот принцип (совместно с указанием начального элемента) и называется последовательностью. Если нет такой направленности, упорядочения, — это уже не последовательность, а обыкновенное множество. Можно легко заметить, что само определение натуральных чисел выглядит именно так: достигли некоторого номера — можно назначить следующий. Операции над числами (арифметика) привнесены в эту последовательность извне: это лишь один из возможных способов отождествления разных подпоследовательностей. Но об этом тоже в другой раз.

А пока у нас есть последовательности точек базы, которые традиционно обозначаются индексированными буквами типа x_n , при n = 1, 2, ... (иногда считать начинают с нуля, или с какого-то ненулевого индекса). Последовательности бывают очень разные, причем элементы с разными индексами запросто могут совпадать. В частности, вся последовательность может воспроизводить одну-единственную точку. В более общем случае — последовательность с "самопересечениями", с многочисленными петлями. Частный случай этого общего случая — периодические последовательности (замкнутые траектории). Наконец, последовательности могут быть просто случайными — и это еще один повод не считать последовательности точек базы заранее существующими: вообще говоря, их надо каждый раз честно вычислять, и не факт, что результат окажется тем же самым.

Поскольку мы интересуемся расстояниями, можно с ходу предложить два способа превратить последовательность точек базы (которые могут быть довольно сложными объектами, причем не всегда математическими) в последовательность чисел (про которые мы, вроде бы, все знаем). Первый вариант — вычислять расстояния между точками последовательности: ρ_in(n; m) = ρ (x_n+m, x_n) . Второй вариант — зафиксировать некоторую точку базы и определять расстояния до нее для каждого элемента последовательности: ρ_out(n) = ρ(x_n, x₀) . Обозначения подчеркивают разную природу этих величин: внутренняя и внешняя структура. Первая хорошо знакома нам из статистики: это своего рода автокорреляция. Полный набор таких функций (при всевозможных m) достаточно хорошо характеризует последовательность как самостоятельный объект. Вторая возможность — очевидная реминисценция из векторного анализа: каждая точка базы представляется ее радиус-вектором, а если выбрать несколько опорных точек (требуемое количество зависит, в частности, от способа арифметизации базы), то мы можем задать и направление. Когда такие внешние опорные точки образуют некоторую последовательность, мы приходим к "синтезу" внешней и внутренней структур, к сравнению последовательностей: ρ_y,x(n; m) = ρ(y_n+m, x_n), или наоборот: ρ_x,y(n; m) = ρ(x_n+m, y_n).

Внешняя структура, вообще говоря, не вытекает из внутренней, и наоборот. Все зависит от строения базы и способа задания метрики. Но во многих практически важных случаях эти две структуры дают, по видимости, лишь два разных представления одного и того же.

Одно из важнейших понятий такого рода — сходимость. Если для любого положительного вещественного числа ε существует такое N, что ρ_in(N; m) ≤ ε для любых n ≥ N при некотором фиксированном m (обычно выбирают m = 1), то x_n называется последовательностью Коши. С другой стороны, если для любого ε существует такое N, что ρout(n) ≤ ε при любых n ≥ N, говорят, что последовательность x_n сходится к точке x₀, или, что точка x₀ является пределом последовательности: x_n → x₀. Предельные свойства последовательностей точек сводятся таким образом к соответствующим свойствам числовых рядов, абстрагируются от базы. Однако не всегда наблюдения над числами допустимо напрямую переносить на свойства нечисловых пространств: если при этом не учитывать строение базы, такой перенос может стать источником логических ошибок.

В метрических пространствах, по правилу треугольника, сходящаяся последовательность точек всегда оказывается последовательностью Коши — но не всякая последовательность Коши сходится, ибо может оказаться, что нет ни одной точки базы, расстояния до которой бесконечно убывают (стремятся к нулю). С другой стороны, по тому же правилу треугольника, если x_n → x₀ и y_n → x₀, то ρ_y,x → 0. Возникает соблазн предположить и обратное: если ρ_y,x → 0, то x_n и y_n либо вместе не сходятся, либо сходятся к одной и той же точке базы. Если это так — можно смело объявлять все последовательности с ρ_y,x → 0 эквивалентными, и при необходимости просто пополнить базу недостающими предельными точками. В элементарной математике просто-напросто замечают, что, если расстояние между пределами эквивалентных последовательностей ненулевое, достаточно взять ε равным половине этого расстояния — и окажется, что три условия сходимости (для x_n, для y_n и для ρ_y,x) нарушают правило треугольника. Следовательно, расстояние между предельными точками равно нулю — а тогда, по первому свойству метрики, предельные точки совпадают — что, вроде бы, и требовалось доказать.

Но давайте проковыряем маленькую дырочку в нерушимых стенах математической строгости и выглянем туда, наружу, где математика становится не совсем элементарной. По логике, определение предела говорит лишь, что расстояние между предельной точкой и точками сходящейся последовательности может быть сделано меньше любого наперед заданного числа. Но это вовсе не тождество, не равенство нулю (если речь не идет о бесконечном повторении одной и той же точки). Точно так же, совместная сходимость к двум разным точкам означает лишь, что расстояние между ними может быть сделано меньше любого числа — а вовсе не то, что это расстояние равно нулю. Другими словами, расстояние между предельными точками эквивалентных последовательностей — это предел числовой последовательности, а вовсе не готовенькое число. Оно стремится к нулю — но не равно ему. На заре математического анализа, его отцы-основатели говорили о бесконечно малых величинах — не отождествляя их с обычными числами. Потом статическая парадигма вытеснила понятие бесконечно малой из школьных курсов; чуть позже к нему вернулись в контексте нестандартного анализа (который, впрочем, лишь пытается иначе сформулировать все те же статические идеи). Так вот, расстояние между предельными точками эквивалентных последовательностей бесконечно мало — но не нуль. Применить к таким величинам первое свойство расстояния мы логически не вправе. Лишь в некоторых особых случаях школьное доказательство согласно с логикой — например, для изолированных точек базы.

Точно так же, и правило треугольника в исходном виде относится лишь к конечным (фиксированным) величинам, а вовсе не к процедуре перехода к пределу. В применении к бесконечно малым расстояниям, это свойство расстояния следовало бы формулировать иначе: ρ (x, y) есть бесконечно малая того же или более высокого порядка по сравнению с ρ (x, z) + ρ (x, z).

Копнем глубже. Когда мы сравниваем две последовательности, мы выходим за рамки исходного метрического пространства в другое метрическое пространство — с базой в виде множества последовательностей Коши на пространстве S. Именно по отношению к этой базе определяется эквивалентность последовательностей. Тот нуль, к которому сходятся расстояния между элементами разных последовательностей, представляет иное понятие метрики, отличное от метрики в S, и потому x_n, y_n и ρ_y,x просто нельзя сравнивать в рамках одного и того же правила треугольника! Это чисто логическая ошибка, подмена понятия. Не учли мы, что одним и тем же числом (именем, ярлыком) могут обозначаться разные сущности. Расстояния в пространстве последовательностей могут вычисляться на основе расстояний на множестве их элементов — но это разные понятия, даже если они иногда совпадают в числовом выражении.

Чтобы отождествить класс эквивалентных последовательностей Коши в пространстве S с точкой базы B, требуется особая операция. Не факт, что такая операция всегда осуществима, и что она обязательно будет однозначной. Например, отождествление происходит случайным образом с разными точками в некоторой области — и можно рассматривать соответствующее распределение вероятностей. Только в особом случае, когда распределение задано δ-функцией (которая, как известно, вовсе не функция, а функционал), возникает некое подобие точки. Точно так же, если последовательность Коши не сходится к точке базы, пополнение базы возможно далеко не всегда — поскольку такие дополнительные точки могут логически не вписываться в определение предмета теории, и для них надо строить другую теорию, с другой предметной областью.

Наконец, для продвинутых дилетантов. Совокупность последовательностей, сходящихся к некоторой точке базы x можно считать ее инфинитезимальной окрестностью. Каждая точка оказывается, таким образом, центром облака бесконечно малых отклонений — виртуальных вариаций. Для любого положительного вещественного числа r, лишь конечное число членов любой сходящейся к x последовательности оказывается за пределами сферы радиуса r. Поскольку в предметной теории сходящиеся последовательности образуются по определенному закону, можно оценить среднее количество точек –ε(r) за пределами r-сферы; знак минус взят из тех соображений, что последовательность всегда "укорачивается" на уровне r. Знатоки нестандартного анализа тут же усмотрят здесь нечто вроде ультрафильтра. Величину ε(r) можно считать мерой связи точки x с базой — как в физике определяют энергии связи электронов в атоме. Эта "энергия" отрицательна, поскольку за нулевой уровень принята точка полного отрыва точки от базы (аналог потенциала ионизации). В зависимости от строения базы (предмета теории) могут возникать разные распределения по энергиям связи; в атомах типичная картина — последовательность дискретных уровней, сходящаяся к порогу ионизации.

Одно из очевидных приложений — обобщение понятия принадлежности элемента множеству. В обычной теории элемент либо принадлежит множеству — либо нет. Теория нечетких множеств допускает введение функций принадлежности — но совершенно неясно, каковы они и откуда их брать. Здесь мы видим, что принадлежность (способ связи элемента с множеством) задана строением предметной области — допустимыми траекториями в ней. Функция принадлежности оказывается тогда свойством инфинитезимальной окрестности точки, и вычисляется как среднее некоторого оператора на ее внутреннем пространстве.

Вот мы и подошли к сути вопроса. Рассмотрение любых конструкций на множестве-базе выводит нас за его пределы, в пространство более высокого уровня. Но это означает также и возникновение внутренней структуры у каждой точки базы — ее внутреннего пространства. Так математические объекты становятся иерархиями.

Понятно, что вовсе не обязательно останавливаться на одних лишь классах сходящихся последовательностей. Можно рассматривать любые траектории приближения к предельной точке, в том числе непрерывные (например, по спирали). Можно говорить о случайных выборках приближений. Можно задавать точки неявно, как пересечения семейств множеств. Можно даже считать точки алгоритмами или физическими процессами, с их особыми симметриями ("спинорными" степенями свободы). Внутреннее пространство точки может оказаться сколь угодно сложным. Пространство-база остается метрическим. И если расстояние между его точками равно нулю — точки совпадают. Но из инфинитезимальности расстояний не следует ровным счетом ничего — пока мы не указали уровень рассмотрения, не развернули иерархию каким-то вполне определенным образом. Переход от внутренней динамики в каждой точке к свойствам на уровне базы требует задания способа проецирования внутреннего пространства в базу (подобно тому, как в квантовой механике вводятся операторы наблюдаемых).

С внутренними пространствами мы сталкиваемся каждый раз при совпадении одного с другим (эквивалентность, равенство и т. д.). Количественно, это означает, что некоторая мера отличия равняется нулю. Пока речь идет о грубом сравнении, сложность сопоставляемых объектов не бросается в глаза. Но как только мы абстрагируемся от различий на некотором уровне — нам приходится иметь дело с более тонкими вариациями, залезать "внутрь" нуля. Здесь даже не нужно квантовой механики: достаточно вспомнить, что Солнечная система, во всем ее богатстве, представляется одной точкой для обитателей соседних звезд — не говоря уже о далеких галактиках.

В качестве собственно математической иллюстрации — равенство комплексных чисел. Формально, два числа равны, если расстояние между ними (модуль их разности) равняется нулю. Но если задавать комплексное число модулем и фазой, точки {0, φ₁} и {0, φ₂} — вовсе не одно и то же. Выходит, что равенство нулю расстояния — это еще не все, и надо позаботиться о том, чтобы приближались мы к нулю по одинаковым траекториям, что и обеспечит равенство фаз. Традиционно, с такими тонкостями никто не связывается, и фазу для числа нуль вообще не определяют. Следовательно, и расстояние на комплексной плоскости определено с точностью до фазы, то есть, как некоторое среднее — и сразу возникает вопрос о правомерности и способе усреднения.

Обычно первичным считают линейное алгебраическое представление комплексного числа с покомпонентным равенством. Тогда нуль — одна-единственная точка. Точно так же вводят единственную бесконечно удаленную точку (проективная геометрия) — но в реальных вычислениях приходится разбираться, по какой траектории мы обходим эти две сингулярности. Считать нуль и бесконечность числами — чистая условность. Потому что это совсем не числа, а настоящие числа так себя не ведут.

Аналогично с векторными пространствами: одно дело — покомпонентное представление, а другое — вектор как величина и направление. Какое направление у нуль-вектора?

Но почему следует исходить именно из линейной схемы? Быть может, в мире главнее вращение, а вовсе не поступательное движение? Покомпонентное представление — частный случай, как прямая — частный случай произвольной траектории, вдоль которой внутреннее пространство каждой точки целиком отображается во внутреннее пространство следующей. И только в "нулевом" приближении справедлива теория обычных метрических пространств.

август 1988