О нелинейной кинематике

Традиционная ньютонова динамика — формальное выражение ранних представлений человека о движении, которое, по современным меркам, было крайне медленным — даже на уровне обычной городской жизни, далекой от релятивистских скоростей. Точно так же, понятия размера и длительности вырастают из компактных вещей и завершенных событий повседневной жизни, которые физика решительно экстраполировала на гораздо большие масштабы. Поначалу людей интересовало лишь то, что непосредственно к ним относится, происходит в ближайшей окрестности; отсюда антропоцентризм старой физики, существенно линейной в количественных оценках и предполагающей экстенсивное развитие, когда что-то большое можно получить простым соединением многих крошечных кусочков. Всем было ясно: если приложить линейку дважды — мы получим вдвое большее расстояние, а переворачивая песочные часы два раза мы отмеряем вдвое большее время. Исходно, физическое понятие пространства сводилось к бесконечной сумме миниатюрных линеек. Несоизмеримость длин, которая так волновала математиков, не имела большого значения для физиков, поскольку "физические" точки могли оставаться довольно большими — пока из размеры "бесконечно малы" по сравнению с типичными длинами в исследуемой системе. Любые расхождения в пределах ошибок измерения на практике можно игнорировать. Например, физик может говорить об инфинитезимальном объеме газа, имея в виду, что каждый такой элемент объема все еще содержит огромное количество молекул, что позволяет нам оставаться в рамках термодинамического описания. Аналогично, время казалось суммой элементарных длительностей, достаточно малых, чтобы четко маркировать физические события в пределах погрешности часов. В это "плоской" физике было вполне естественно характеризовать механическое движение скоростью — количеством пространственных единиц покрываемых в несколько единиц времени. Пройденное расстояние тогда получается суммированием "бесконечно малых" отрезков пути преодолеваемых телом за единицу времени. Физические взаимодействия (силы) могут изменить скорость — но эти изменения всегда остаются за пределами точности измерений и могут поэтому считаться независимыми от пространственного перемещения, то есть, принадлежать еще более низкому уровню иерархии (что, очевидно, устанавливает верхний предел для допустимых скоростей). Независимость разных уровней движения и возможность их суперпозиции — еще одно проявление линейности модели.

Сильные стороны этой простой картины — обратная сторона ее исходной концептуальной слабости: наблюдаемое поведение системы оказывается различным в зависимости от способа наблюдения, от произвольно выбранного (физического) масштаба. Например, периодический процесс, на каком-то уровне представленный гладкой кривой, будет выглядеть хаотическим движением, если временная шкала наблюдателя гораздо грубее характерного периода; в других шкалах тот же процесс покажется стационарным состоянием (точка, несколько точек, или пространственная форма — тело). Сама возможность переходить от одной шкалы к другой — это уже нарушение линейности, при том что никакая линейность невозможна без комбинирования очень разных уровней в одной теории. В этом смысле объединение времени и пространства в понятии искривленного пространства-времени оказывается логическим завершением той же линии. А заодно и ее завершением — поскольку релятивистское сокращение времени и длин неизбежно входит в противоречие с условием физического разделения уровней линейной модели. Новой физике еще предстоит обследовать девственные края за пределами принципа суперпозиции.

Сугубо для иллюстрации, допустим, что в рамках гладкого мира ньютоновской механики, возможно более сложная картина перехода от одной точки к другой, а не просто аддитивное смещение. Традиционно мы записываем:

Это равенство недвусмысленно намекает на бесконечную малость пространственных смещений в ходе собственного движения системы по сравнению с диапазоном движений, используемых для построения системы координат (системы отсчета):

Таким образом, скорость и время должны быть вместе достаточно малы. Стремление компенсировать значительные длительности медленностью движения — или, наоборот, высокие скорости малостью времени, — потребовало бы дополнительного размежевания уровней, и следовательно отхода от физической однородности. В некоторых ситуациях это законный технический прием. Бесконечно медленные изменения, очевидно, соответствуют обычному адиабатическому пределу, тогда как противоположный случай мгновенных переходов во внутреннем пространстве приводит к вариациям на квантовые темы. Тем не менее, обе противоположности используют существенно нелинейную процедуру сопоставления двух уровней иерархии, с очень разными физическими характеристиками. Обычно для этого используют разного рода статистические методы.

В простейшем случае можно было бы ввести нелинейность посредством добавления в формулу для траектории движения слагаемого, квадратичного по времени:

что (для ограниченных v и ξ) выглядит как учет ускорения; однако здесь мы имеем в виду чисто кинематическое правило, без допущений о каких-либо физических силах, ответственных за наблюдаемый эффект. В некоторых случаях этот тип нелинейности может быт локально представлен эффективной силой. Однако такое представление ниоткуда не следует, как только мы переходим к глобальной структуре пространства-времени. Так, постулируя эквивалентность физического взаимодействия и эффективных (кажущихся) сил, связанных с неинерциальным движением наблюдателя, мы экстраполируем локальные наблюдения на всю Вселенную — а это логическая ошибка. Вышеприведенная нелинейная форма для смещения (сложения длин) физически означает, что локальная геометрия может меняться со временем. Для быстрых движений этим эффектом можно пренебречь — но он все же может оказаться важным в космологических масштабах. Более того, при больших временах τ, линейный член оказывается несущественным:

а это может относиться к стационарной системе (v = 0), испытывающей нечто вроде "космологических" флуктуаций. Можно считать этот закон сложения обратным к формуле диффузии, где расстояние пропорционально квадратному корню из времени.

В качестве альтернативы, можно было бы заключить об ортогональности кинематики на другом уровне иерархии:

что в некоторых случаях можно аппроксимировать как

тем самым возвращаясь к той же квадратичной нелинейности — с единственным отличием, что "космологическая" добавка теперь зависит от расстояния (что, впрочем, может оказаться весьма привлекательным в физическом плане). Конечно, есть и другие возможности — и ни одну из них нельзя предпочесть по чисто формальным критериям. Выбор диктует практическая потребность. Однако простое допущение различных кинематических платформ — неплохое лекарство от концептуального застоя и преувеличения универсальности нынешнего уровня наших знаний.