Кардинальная иерархичность

Всем известна канторовская иерархия бесконечных кардинальных чисел: следующий уровень возникает при рассмотрении множества всех подмножеств бесконечного множества. Можно пронумеровать эти бесконечности целыми числами (ординалами): дискретной бесконечности соответствует уровень 0, континуум — бесконечность уровня 1, всевозможные функции над континуумом — уровень 2, и т. д. Разумеется, мыслим и выход за пределы этой иерархии — как некие бесконечные ординалы, включая несчетные.

В этих терминах, знаменитая континуум-гипотеза утверждает, что не существует уровня мощности между нулем и единицей. Утверждение сильное, и в рамках аксиоматической теории множеств его нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Можно показать, что такая существенная дискретность связана с двузначностью логики (способом конструирования подмножеств). Однако никто не запрещает нам несколько расширить идею множества, сохраняя традиционные представления как предельный случай. Существует обобщение, позволяющее конструктивно показать, что континуум-гипотеза в обобщенной теории неверна.

Действительно, обратим внимание, что в традиционной теории элементы объединяются в множества внешним образом, как противопоставленные друг другу. Каждый элемент соответствует одной и той же счетной единице, которая для бесконечных множеств бесконечно мала — но все же сохраняет качественную определенность, общую для всех элементов (именно поэтому мы имеем право их пересчитывать). Поэтому канторовская иерархия — это ряд внешних бесконечностей.

Допустим теперь, что элементы множеств — не просто счетные единицы, а каждый из них обладает внутренним строением. Например, каждой точке (элементу множества) соответствует некоторое внутреннее пространство, со своей внешней мощностью. Вообще говоря, устройство внутренних пространств у разных элементов не совпадает. Однако, если мы хотим изучать достаточно целостные объекты, можно полагать, что принцип развертывания внутреннего пространства у всех точек одинаков — и их внутренние пространства, как минимум, одинаковой мощности; во многих практически важных случаях (например, при описании механического движения) допустимо потребовать и одинаковости топологии.

В простейшем случае внутреннее пространство дискретно (нечто вроде спинорных компонент). Это уровень 0 в иерархии внешних мощностей. Однако точно так же каждая точка может внутренне представляться некоторой непрерывной областью — зоной, множеством уровня 1. На практике такие ситуации не редкость. Например восприятие чистого тона некоторой высоты (логарифм частоты звука) представляет его как некоторое распределение частот в окрестности хорошо выраженного максимума. Отсюда следует, что возможные наборы воспринимаемых как различные тонов образуют зонные структуры (звукоряды, лады, созвучия), каждый элемент которых вовсе не точка, а континуум возможных отклонений от центра зоны. Как определять мощность такого множества? С одной стороны, оно дискретно, а с другой — это набор континуальных интервалов.

Определим теперь мощность двухуровневого множества (со стандартным внутренним пространством каждого элемента) как пару кардинальных чисел (K₁, K₂), где K₁ и K₂ задают уровни мощности верхнего (внешнего) и нижнего (внутреннего) соответственно. В частности, внутреннее пространство может отсутствовать — в этом случае оно эффективно состоит из одного элемента, и его уровень мощности равен нулю. Таким образом, чисто дискретное множество представляется иерархической мощностью (0, 0), обычный континуум имеет мощность (1, 0), а дискретная структура с континуальным внутренним пространством имеет мощность (0, 1). Порядок на множестве иерархических мощностей логично установить лексикографически: сначала по первому показателю, потом по второму. Очевидно, (0, 0) < (1, 0). Однако столь же естественно (0, 0) < (0, 1) < (1, 0). Таким образом, существуют иерархические множества с мощностью между дискретным и континуумом.

Разумеется, процесс можно продолжать и дальше: элементы нижнего уровня также могут быть внутренне сложными. Ограничиваясь пока первыми двумя канторовскими уровнями, получим кардинальное число иерархического множества как (b₁, b₂, b₃,...), где b_k равны либо 0, либо 1. Легко видеть, что это эквивалентно двоичной записи некоторого вещественного числа в интервале (0, 1) — существует бесконечно много множеств промежуточной мощности.

Конечно, строение внутренней иерархии может быть достаточно сложным. Например, в нем воспроизводится обычная иерархия бесконечных ординалов. Особый интерес представляют ситуации, когда пространства разных уровней изоморфны: иерархия в этом случае уже не останется простой древовидной структурой, а может содержать циклы и петли. Вычисление мощности таких множеств — особый интересный вопрос.

июль 1994