Восприятие форм

Математическое пространство, абстрактно равнодушное к тому, что в нем происходит, — это великое достижение человеческого ума, показатель нашего умения выйти за рамки собственной ограниченности и замахнуться на постижение мира целиком — а заодно и определиться со своим местом в этой грандиозности. Однако на практике приходится вести себя в соответствии с тем, где мы оказались, и учитывать собственные возможности, чтобы претендовать на что угодно только в пределах разумного — иначе какие же мы разумные существа, если не замечаем никаких пределов? И тут оказывается, что математическое пространство — далеко не лучшая модель окружающей (и включающей) нас действительности, и надо основательно подкрутить математику, чтобы ее результаты имели хоть какой-нибудь смысл. Способы такой подгонки под реальность со временем становятся повседневной рутиной, абстрактной формальностью, — и превращаются в еще одну математическую теорию, которая тут же перестает нас удовлетворять и требует неформального расширения. Это нормально: жизнь не стоит на месте, и наука развивается вместе с ней.

Принципиальное отличие воспринимаемого мира от формально-математического состоит в том, что никто и никогда не дает нам пространства сразу и целиком — его надо строить по образу и подобию текущей деятельности. Разумеется, мы никогда не начинаем с нуля: есть старые заготовки, и можно попытаться усмотреть в новой деятельности нечто сродни ранее пройденному, и скомпоновать предварительный образ из уже известных форм. Такая первичная, метафорическая модель потом обрастет необходимыми поправками и превратиться в рабочий инструмент; потом придумают, как эту эклектику вывести из единой идеи — и добавить в общую копилку еще одну универсальную технологию.

В качестве иллюстрации, возьмем самое обыкновенное житейское пространство: испокон веков в нем обнаруживают три измерения, которые для математики совершенно одинаковы — тогда как люди не только находят их качественно различными, но и дают им разные названия, причем по-разному в разных ситуациях: "длина — ширина — высота", "длина — ширина — глубина", "ширина — высота — глубина", "расстояние — азимут — склонение" и т. д. Когда речь заходит о размещении одного в другом — возникают сразу два ряда пространственных мер: габариты и расположение (что также маркировано различием названий). Восприятие человека не пассивно, оно представляет внешний мир в терминах деятельности. Чтобы посмотреть на что-то правее или левее, надо повернуться в нужном направлении на нужный угол; чтобы охватить высоту — требуется изменить наклон тела, подняться или опуститься; для оценки расстояний до предметов используются совсем другие инструменты (причем различные, в зависимости от степени удаления); глубину мы иногда вообще увидеть не можем, и судим о ней по косвенным признакам (точно так же, как мы делаем правдоподобные выводы о пространстве за горизонтом восприятия).

Формальная модель воспринимаемого пространства неизбежно отличается от модели пространства "самого по себе". Предположим, что некий предмет расположен на расстоянии r от наблюдателя; в этой фразе уже заложена весьма сильная абстракция, поскольку, вообще говоря, разные части предмета расположены от нас на разных расстояниях, — следовательно, приходится одновременно воспринимать предмет как целое, что можно характеризовать общей (интегральной) удаленностью, — и как нечто пространственно организованное, детали чего мы имеем возможность разглядывать (хотя бы для того, чтобы составить целостное впечатление, "опознать" предмет). Деятельность восприятия развертывается в серию отдельных актов, каждый из которых представляет нам какую-то часть целого — то, что попадает в "фокус" на этой стадии. Разумеется, фокус восприятия — не точка, это область конечных размеров; иногда эти размеры вмещают предмет целиком, и он воспринимается как "точечный", — но чаще всего для восприятия целого приходится смещать фокус в пределах общего "поля зрения", в поисках края (или каких-то иных границ). В результате предмет оказывается представлен структурой процесса разглядывания. На практике дело крайне редко ограничивается одиночной цепочкой "фиксаций": за время восприятия мы успеваем многократно пробежаться разными путями и в какой-то мере освободиться от произвола, выявить в предмете нечто относительно устойчивое.

Для наглядности, ограничимся пока только двумя измерениями: в качестве предмета будет выступать сегмент прямой, минимальное расстояние до которой от наблюдателя равно r, и центр отрезка совпадает с подножием перпендикуляра, вдоль которого и отмерено это расстояние. Тогда разглядывание сводится к повороту вправо или влево от центра в плоскости прямой и точки наблюдения. Каждый раз, при каждой фиксации, в фокусе внимания оказываются точки с небольшим отклонением луча зрения от линии взгляда (допустим, на углы, не превышающие некоторого ε); все такие точки выглядят для наблюдателя как отрезок длины l, изображающий часть прямой длины Δx = l. В предположениях линейной оптики, это можно графически изобразить так:

Разумеется, за существование конечного угла обзора, наряду с оптикой глаза, отвечает еще и бинокулярное зрение; оно же участвует в оценке расстояния до объекта. Но физиология не имеет отношения к делу: восприятие — это деятельность, явление более высокого уровня, а ее телесная организация может быть различной (вплоть до устранения всякой органики вообще).

При повороте луча зрения на угол α фокус смещается в точку x', и становится доступна часть наблюдаемого сегмента размером Δx', которая видится наблюдателю как отрезок длины l', расположенный перпендикулярно лучу зрения на расстоянии r'. Поскольку речь идет о точках прямой, мы не можем поворачиваться на слишком большие углы, и . Легко видеть, что

.

Таким образом, при больших отклонениях α, за один взгляд мы можем охватить очень большую часть прямой:

и при

Тем не менее, проекция l' на ось X при любом направлении взгляда постоянна: ; это показывает, как теряются тонкие детали картины на большом расстоянии от ее центра: любая дискретная структура поглощается фокусом наблюдения, и возникает полное впечатление непрерывности.

В пределах фокуса внимания, различие расстояний точек прямой X от наблюдателя считается несущественным — все они принадлежат одному уровню иерархии. Именно поэтому мы можем моделировать фокус восприятия отрезком, перпендикулярным лучу зрения. Однако альтернативная модель, представляющая фокус восприятия не отрезком, а небольшой дугой, не вносит существенных поправок в размер области непосредственного охвата: коррекция

при малых ε имеет более высокий порядок малости (то есть, принадлежит другому уровню детализации). Вопрос о том, что первично: прямая или дуга, поступательное движение или вращение, — представляет интерес в связи, например, с основаниями физики; но здесь мы говорим о другом.

Вообще говоря, можно фокусироваться на любой точке наблюдаемого объекта. Восприятие в целом тогда представляется континуумом фрагментов разной длины. Но для полного описания достаточно конечного числа наблюдений (актов восприятия) — если их зоны непосредственного охвата полностью покрывают пространство объекта. При этом в каждом покрытии возникает иерархическая структура, по удаленности от наблюдателя. Ясно, что таких покрытий может быть сколько угодно, — но все они представляют одно и то же; это целое, способное развертываться в разные (но отнюдь не произвольные!) иерархические структуры, мы называем иерархией. Восприятие как деятельность — иерархично.

Таким образом, даже очень простая математическая модель приводит к идее иерархически устроенного "внутреннего" пространства, которое субъект (наблюдатель) использует для организации всякой иной деятельности. Более реалистические модели могли бы учесть тонкую структуру акта восприятия (общая психология учит нас, что всякое действие развертывается в иерархию операций) и представить фокусировку внимания, например, как распределение по углам (например, гауссоиду), а не просто угловой диапазон. В этом случае перекрытие зон непосредственного охвата моделируется некоторым внутренним "тембром", в котором роль основного тона играет угол 2ε. Такая базовая структура позволяет поставить вопрос об устойчивости и регулярности внутренних "тембров": не всякие из них годятся на роль качественно определенной шкалы. В музыке, как известно, теория предсказывает наличие небольшого числа предпочтительных шкал (звукорядов, строев); лишь две из них оказываются универсальными, способными представить любые музыкальные интонации. Аналогичная структура эмпирически обнаружена и в изобразительных искусствах — однако в то время найти причины этого соответствия так и не удалось.

Вообще говоря, для адекватного восприятия вовсе не требуется полностью покрывать объект зонами непосредственного охвата — достаточно нескольких опорных направлений. Уяснить это себе можно и без большой науки: каждый по опыту знает, что любые вещи мы оцениваем по нескольким характерным чертам — а все остальное "интерполируем". Такова, например, традиционная технология построения графиков функций: поиск особенностей, несколько промежуточных точек — и соединить все гладкой кривой по лекалу (или сплайном). Разумеется, качество изображения зависит от того, насколько верно мы угадали характер функции; так же оно и в жизни: бывают ошибки, но практика все поставит на места.

Один из важнейших выводов зонной модели восприятия — внутренняя иерархичность каждой шкалы, наличие "вложенных" дискретных подструктур. В простейшей модели мы можем произвольно менять расстояние до объекта — и получать разные иерархии восприятия (наборы карт разного масштаба). На самом же деле и здесь вместо сплошной линии существуют дискретные наборы предпочтительных точек обзора; какими они будут — определяется характером шкалы.

Говоря выше о переходе к пределу "скользящего взгляда", , мы, конечно же, вышли за пределы применимости модели. В реальности максимальные углы обзора (поле зрения) определяются характером деятельности и никогда не бывают слишком велики. Если оказывается, что для покрытия поля зрения требуется слишком много зон непосредственного восприятия, это сигнал: пора переходить на другой уровень иерархии. То есть, мы как бы оказываемся внутри предмета — и он эффективно распадается на более обозримые объекты, к которым применима обычная технология деятельного восприятия. Противоположный предел, когда предмет целиком укладывается в одну зону, приводит нас в абстракции к понятию точки. Это тоже сигнал: в жизни не бывает точек, и если все сливается в одно — неплохо бы присмотреться поближе.

Математика зонного восприятия представляет дело так, будто существует некое единое (объемлющее) пространство, и можно выстраивать формальную теорию по отношению к нему. Теперь давайте вывернем логику наизнанку: что если иерархичность пространства и есть его истинное устройство, а наши абстрактные построения возникают лишь на одном уровне иерархии, в пределах определенной деятельности? На первый взгляд, это кажется возвратом к первобытному антропоцентризму (с которым наука тысячи лет боролась, а кое-где борется до сих пор). Если форма предмета зависит от способа разглядывания — не значит ли это, что в теорию подспудно протаскивают внепредметную субъективность, мистику и произвол? Но что, собственно здесь от субъекта? Только строение системы, иерархическая структура. Любые природные вещи взаимодействуют на разных уровнях, и то, как выглядит одна вещь для другой, зависит от характера взаимодействия, которое не обязано быть сознательной деятельностью: годится и физика, и метаболизм. Если вместо человека предмет будет разглядывать робот — он увидит примерно то же самое, поскольку применяется такая же технологическая иерархия. Электрон для электрона тоже окажется иерархией — если он взят не одномоментно, а как процесс постепенного развертывания. Физики-теоретики, например, часто используют плавное "включение" взаимодействия — но лишь как вспомогательное средство, технический трюк, а в конечном итоге от параметров "включения" стараются избавиться. Но тем самым избавляются и от физичности теории, ее осмысленности, применимости к определенному классу объектов. Такие абстрактные теории, якобы, применимы к чему угодно; отсюда формальные и логические противоречия. Возьмите теорию относительности: с одной стороны, мы ограничиваем скорость распространения любых взаимодействий — а с другой, предполагаем уже готовое пространство-время; как-то криво получается! Если быть последовательными, надо рассмотреть процесс формирования системы отсчета, и не делать никаких предположений о том, что находится у горизонта (см. выше о пределе скользящего взгляда), а тем более за ним. В такой теории не будет эффектных сингулярностей, под которые так удобно выбивать финансирование. Но это будет наука о природе, а не об абстракции, которую мы за природу выдаем. Иерархический подход, таким образом, решительно преодолевает антропоцентрические предрассудки, тогда как формалистическая (беспредметная) наука скатывается в ничем не ограниченный субъективизм. С точки зрения зонной теории, существование объемлющего пространства связано с фиксацией определенной шкалы — одного из уровней восприятия. Для каждой шкалы объективно дана иерархия вложенных шкал; при переходе к другой шкале изменится и эта иерархия, и тот же предмет будет выглядеть совершенно иначе. Пока мы ограничиваемся только одним уровнем, неизбежны "иллюзии" и "артефакты" — но и они не случайны, связаны с устройством шкалы, и потому вполне реальны в рамках соответствующей деятельности. Логически, это не дает нам права отождествлять подобные "инерциальные силы" с реальными, "физическими" явлениями; но в каждой деятельности мы обязаны учитывать и свое место во Вселенной: мы ведем себя в соответствии с нашим видением мира.

Последний вопрос: какое отношение все это имеет к математике?

Самое прямое. Попытки математиков противопоставить себя остальному человечеству, встать над природой и навязывать миру свои "абсолютные" истины, — из той же серии, что и стремление некоторых физиков говорить о Вселенной вообще, а не о той ее части, с которой мы реально имеем дело. Выбрав для себя один из возможных способов восприятия, мы забываем о других возможностях, о разнообразии мира, о возможности трактовать то же самое различными, и не всегда совместимыми способами. В пределах своей области применимости (для предметов в поле зрения) такая "кастрированная" наука вполне эффективна и очень полезна; однако она становится помехой, когда пора поработать над чем-то еще. Разумеется, жизнь так просто не убить, и она пролезает в математику через тысячи умолчаний и неформальных допущений, которые "строгая" наука не обязана обнажать при публике. Потом кто-нибудь вводит в оборот новую парадигму, с позиций которой прежние теории предстают в совершенно ином свете, "естественно" объединяются в нечто удивительно красивое. Все хлопают в ладоши и говорят: гениально! А, ведь, этот гений не сделал ничего особенного: он лишь вспомнил то, о чем все остальные когда-то предпочли забыть.